61. Ортогональные матрицы и их свойства

Рассмотрим теперь, какими свойствами обладает матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому в евклидовом пространстве. Вспомним перехода от одного базиса к другому: если , то . Матрицу АТ мы называли матрицей перехода от одного базиса к другому. Столбцы этой матрицы представляют собой координаты векторов в базисе .

Введем сначала определение: матрица Т с вещественными коэффициентами называется ортогональной, если Т’ = T-1 – транспонированная матрица равна обратной. Т. е. Т Т’ = T’ T = E. Отсюда следует det (T T’) = det T × det T’ = det E = 1 или det T = ±1.

Обратная матрица T-1 также ортогональна:

, или .

Запишем еще свойства ортогональной матрицы, вытекающие из того, что

, или:

Или: сумма квадратов элементов какой – либо строки (или столбца) равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов разных строк (столбцов) равна 0.

Предположим, имеем два ортонормированных базиса в евклидовом пространстве: и . Если , то координаты некоторого вектора Х в старом базисе х и новом х’ связаны соотношением: , где АT – матрица перехода.

Теорема: матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.

Доказательство: положим имеем два вектора

Запишем матрицы – столбцы координат этих векторов:

Скалярное произведение этих двух векторов:

, или, в матричной записи:

(*)

Если матрица перехода от одного базиса к другому есть S, то:

X = S X1 ; Y = S Y1

Подставим в (*):

Отсюда ST×S = E или ST = S-1. Т. е. матрица S – ортогональная.

К примеру, матрица, осуществляющая поворот осей координат в одной из предыдущих лекций – это матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Она является ортогональной.

detT = 1, T-1 = T` =

< Предыдущая		Следующая >