55. Действия над векторами в координатной форме

Если в линейном n – мерном пространстве заданы два вектора ; то на основании аксиом, которым удовлетворяют операции сложения и умножения, будем иметь:

Рассмотрим линейную комбинацию векторов:

, (*)

Где

Если координаты вектора есть , то имеем систему уравнений:

(**)

Рассмотрим матрицу этой системы. Ее столбцы – координаты векторов X1 X2 … Xn. Если предположить, что в равенстве (*) вектор у равен 0, то мы будем иметь линейную Зависимость векторов . Чтобы система (**) имела ненулевое решение ( когда yi = 0, i = 1, … , n) Ненулевое решение! – необходимо (из предыдущего материала) чтобы ранг матрицы был меньше числа неизвестных m. Или, с другой стороны, вектора линейно независимы, когда ранг матрицы (**) равен числу векторов.

Максимальное число линейно независимых векторов линейного пространства – есть размерность пространства – и это же число является рангом некоторой системы векторов (*). Обратимся к примеру: найти размерность и базис пространства, являющегося линейой оболочки векторов: x1 = ( 0, 2, -1 ) x2 = ( 3, 7, 1 ) x3 = ( 2, 0, 3 ) x4 = ( 5, 1, 8 ).

Вычислим ранг системы этих векторов:

Базисом могут служить три линейно независимых вектора. А это векторы x1 x3 x4, поскольку x2 – их линейная комбинация.

На основе вышесказанного можно сделать вывод: ранг системы векторов равен рангу матрицы из координат этих векторов в некотором базисе.

< Предыдущая		Следующая >