54. Размерность и базис линейного пространства

В пространстве V3 каждый вектор можно единственным образом разложить по трем некомпланарным векторам, которые называются базисом пространства V3. Рассмотрим вопрос о построении базиса в произвольно пространстве R. Для этого повторим некоторые важные понятия.

Линейная зависимость векторов. Если X1 X2 … Xn – векторы линейного пространства R, а a1 a2 … an – произвольные числа из поля K, то выражение

A1 X1 + A2 X2 +…+ AN Xn

Называется линейной комбинацией векторов X1 X2 … Xn, а числа a1 a2 … an называются коэффициентами этой линейной комбинации. Если линейная комбинация векторов обращается в нуль тогда и только тогда, когда все ai = 0, то вектора являются линейно независимыми. В противном случае, когда

A1 X1 + A2 X2 +…+ AN Xn = 0

При условии, что хотя бы один ai = 0, вектора называются линейно зависимыми.

Вспомним, что мы доказывали, что любая совокупность векторов X1 X2 … Xn, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой. Точно также система векторов X1 X2 … Xn, содержащая совокупность линейно зависимых векторов, линейно зависима.

Наконец, докажем теорему, что векторы X1 X2 … Xn линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить как линейную комбинацию оставшихся.

Другими словами, нужно доказать необходимость и достаточность. Докажем необходимость. Пусть X1 X2 … Xn линейно независимы. Тогда:

A X1 + B X2 +…+ G Xn = 0

Причем хотя бы одно из чисел a, b, …, g ¹ 0. Положим, что a ¹ 0. Тогда

(*)

А это по определению означает линейную комбинацию. Достаточность: пусть x1 является линейной комбинацией оставшихся, т. е. равенство (*) выполнено. Тогда перепишем его в виде:

Поскольку из чисел (-1), l, … , m одно не равно нулю (-1), то это означает линейную зависимость векторов x1 x2 … xn.

А) Размерность линейного пространства.

Если в линейном пространстве R существует n линейно независимых векторов, а любые n + 1 векторов этого пространства линейно зависимы, то линейное пространство называется n – мерным. Число n называется размерностью пространства. Символ размерности - dim R.

Например, пространства V3 и V2 соответственно трехмерные и двухмерные. Существуют бесконечномерные линейные пространства. Пример такого пространства – это векторы x и y из пространства С [a, b]. Их сумма и произведение имеют вид:

X = F (T) Y = J (T)

X + Y = F (T) + J (T), A X = A F (T)

В линейной алгебре изучаются только конечномерные пространства.

Б) Базис линейного пространства.

Система { E } из n линейно – независимых векторов n – мерного пространства , заданных в определенном порядке, называется базисом этого пространства.

Теорема: любой вектор Х n – мерного пространства и при том единственным образом, можно разложить по базису этого пространства .

Действительно, векторы линейно зависимы т. к. их число равно n + 1, а по определению базиса n – мерного пространства n + 1 векторов линейно зависимы. Тогда составим выражение:

Где хотя бы одно ai будет отлично от 0. a0 ¹ 0, т. к. иначе окажется, что базисные вектора линейно зависимы. Тогда:

Т. е. можно представить как линейную комбинацию векторов базисных. Причем, разложение это единственно. Запишем разложение в виде:

И назовем числа x1 x2 … xn координатам вектора X в базисе . Будем писать .

< Предыдущая		Следующая >