53. Некоторые свойства произвольных линейных пространств

Запишем без доказательства два утверждения:

1). В произвольном линейном пространстве существует единственный нулевой элемент и для каждого элемента x существует единственный противоположный.

2). В произвольном линейном пространстве: а) нулевой элемент 0 равен произведению произвольного элемента X на вещественное число 0; б) для каждого элемента X противоположный элемент равен произведению этого элемента X на вещественное число –1.

Пусть некоторое множество L является линейным пространством. Всякое подмножество L1 пространства L, элементы которого в свою очередь образуют линейное пространство, (с теми же операциями сложения и умножения) называется подпространством пространства L. Очевидно, что единственный нулевой вектор 0 Î L и само пространство L являются наименьшим и наибольшим подпространствами линейного пространства L.

Примеры подпространства: в пространстве векторов V3 векторы, параллельные некоторой плоскости образуют подпространство V2.

Определение линейной оболочкой векторов X1 X2 ... Xm – некоторой системы векторов пространства L - называется совокупность всех линейных комбинаций этих векторов, т. е. множество элементов вида

A1 X1 + A2 X2 + ...+ AM Xm

Где a1 A2 ... AM – произвольные действительные числа. Линейную оболочку будем обозначать L (X1 X2 ... Xm).

Иногда говорят, что линейная оболочка – это подпространство, натянутое на данную систему векторов.

< Предыдущая		Следующая >