49. Нецентральные поверхности второго порядка

Очевидно, нецентральная поверхность имеет уравнение:

A11 x2 + a22 y2 + a33 z2 + 2 a14 x + 2 a24 y + 2 a34 z + a44 = 0

Поскольку I3 = 0, то один из A11 A22 A33 должен быть равен 0. Положим, что это a33:

A11 x 2 + a22 y 2 + 2 a14 x + 2 a24 y + 2 a34 z + a44 = 0

Перейдем к новым координатам:

И т. д., т. е. избавиться от линейных слагаемых по Х и по У и свести уравнение к виду . Не нарушая общности, можно считать, что уравнение поверхности есть: Здесь могут представиться следующие случаи:

А). Если P = Q = 0, то .

Поверхность распадается на пару плоскостей, причем, эти плоскости вещественны, когда знаки у A11 И A22 Противоположны.

Б). Р = 0 q ¹ 0

Это уравнение цилиндра, с образующими, параллельными оси OZ. Причем цилиндр вещественен, если коэффициенты различных знаков.

Здесь также два случая:

5). - это эллиптический цилиндр.

6). - это гиперболический цилиндр.

В). P ¹ 0 тогда параллельным переносом можно свести уравнение к виду: , или опять можно считать Здесь в зависимости от знаков могут быть два случая:

7). - эллиптический параболоид.

8). - гиперболический параболоид.

Предположим, что в уравнении

A11 x2 + a22 y2 + a33 z2 + 2 a14 x + 2 a24 y + 2 a34 z + a44 = 0

Две константы A11 и A22 Равны нулю. Тогда перейдем к новым координатам по формулам X = X’ Y = Y’

Уравнение сводится к следующему:

A33 Z2 + 2 P X + 2 Q Y + R = 0

А). Если p = 0 q = 0 , то поверхность распадается на две плоскости

Б). Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то уравнение можно свести к виду

9). A33 Z2 + 2 P Y = 0

Это уравнение параболического цилиндра с образующими, параллульными оси OX.

< Предыдущая		Следующая >