36. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Точка M(X,Y,Z) лежит на плоскости. Значит три вектора компланарны:

Уравнение плоскости получится из условия компланарности трех векторов, а именно: смешанное произведение трех векторов равно нулю:

Нормированное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости.

Поставим цель выразить уравнение плоскости через длину отрезка = р и направляющие косинусы единичного вектора . Очевидно, точка М лежит на нужной нам плоскости тогда и только тогда, когда или , но: и тогда уравнение искомой плоскости, очевидно будет: .

Так же как и в случае уравнения линии, назовем отклонением точки М от плоскости ее расстояние до плоскости со знаком (-), если точка М и начало координат лежат в одной стороне от плоскости и со знаком (+), если по разные стороны. Тогда можно доказать, что для нахождения отклонения d точки М от плоскости необходимо в левую часть нормированного условия плоскости подставить на место X, Y и Z координаты X0 Y0 Z0 точки М0.

Как привести уравнение плоскости к нормированному виду. Поскольку

Одна и та же плоскость, то, очевидно, найдется такое число t, что:

T A = cos A ; t B = cos B; t C = cos G ; t D = - p ;

Из первых трех уравнений имеем: , отсюда расстояние плоскости от начала координат . Из четвертого равенства, поскольку p всегда положительно, следует знак у t брать противоположный D.

< Предыдущая		Следующая >