10. Линии эллиптического и гиперболического типов
Если I2>О, то уравнение (17), согласно (15), можно записать так:
(18)
Так как
То а11а22>О, т. е. коэффициенты а11 и а22 оба отличны от нуля и имеют одинаковые знаки, совпадающие со знаком I1=a11+а22. Будем в дальнейшем считать, что I1>О, т. е. а11>0 и а22>0 (если это не так, то умножим обе части (18) на — 1). Заметим, что при такой операции (нормировании) знак I2 не меняется.
Теорема. Пусть уравнение (1) КВП — эллиптического типа (I2>О) нормировано так, что I1>О. Тогда при I3<0 — это уравнение эллипса. При I3=0 — единственная точка (уравнение вырожденного эллипса). При I3>0 — пустое множество точек (уравнение мнимого эллипса).
Доказательство. Так для уравнения (18), I1=а"11+а"22,
I2=а"11а22, то из условия I1>О, I2>0 следует, что а"11>О, а"22>0. Поэтому уравнение (18) можно записать так:
, при I3<0; (19)
, при I3=0; (20)
, при I3>0; (21)
Теорема доказана.
Теорема. Пусть уравнение (1) - КВП гиперболического типа (I2<0). Тогда при I3
0 — это уравнение гиперболы, а при I3=0 - пара пересекающихся прямых.
Доказательство. Так как для уравнения (18):
То из I2<0 следует а"11, и а"22 имеют разные знаки. Пусть а"11>0, а"22<О, тогда уравнение (18) можно записать так:
, при I3<0; (22)
, при I3=0; (23)
, при I3>0; (24)
Уравнение (22) задает гиперболу, симметричную относительно
Оси О"Y".
Уравнение (23) можно переписать так:
– пара пересекающихся прямых в системе координат 0"Х"Y".
Уравнение (24) — каноническое уравнение гиперболы.
Случай, когда а11"<О, а22">0 рассматривается аналогично.
Теорема доказана.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
