08. Определённый интеграл. Применение определённого интеграла.

Представим на конкретном примере графики подинтегральной и первообразной функций на одной диаграмме (не конкретизируя начало координат). Пусть для простоты F(X) = K (Const), тогда F(X) = Kx + C (рис. 18).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 18. К понятию определенного интеграла

И формуле Ньютона – Лейбница

Из рис. 18 видно, что подинтегральному выражению F(X)Dx с одной стороны, на графике функции F(X) соответствует элементарная площадь DS, а с другой стороны – интервал DF – на графике функции F(X). Процедуре суммирования элементарных площадок в пределах аргумента A ≤ x ≤ b на графике подинтегральной функции соответствует суммирование бесконечно малых отрезков на интервале ΔF, что дает длину отрезка линии, которая определяется как разность F(B) – F(A). Поэтому можно записать:

. (21)

Из приведенных выше рассуждений также следует, что увеличению размеров площади на графике F(X) соответствует движение точки на линии графика функции F(X). Поэтому размеры площади определяют правую границу функции и можно записать, что S(-∞≤ X≤ A) = F(A), А S(-∞≤ X≤ B) = F(B). Из геометрических соображений (рис.18) очевидно, что

ΔS(a≤ x≤ b ) = S(-∞≤ x≤ b) – S(-∞≤ x≤ a) = F(b) – F(a). Если в качестве правой границы площади выбрать произвольную величину переменной X, то этой площади будет соответствовать величина F(X) = S(-∞ ≤ X). По определению интеграла можно записать: Формально перенесем ограничения переменной X в символ интеграла, указав левую и правую границы, чтобы сопоставить с размерами вычисляемой площади. Тогда будем иметь:

Для того чтобы вычисляемые размеры площадей на графике F(X) соответствовали истиной величине, необходимо рассчитывать значения первообразной функции выбранной конкретно, то есть при фиксированном значении константы С. Тогда размеры площади станут определенной величиной, а соответствующий интеграл с заданными границами интегрирования будет определенным числом.

Таким образом, число, которое получается в результате интегрирования функции F(X) при заданных пределах по правилу:

Называется определенным интегралом, а способ вычисления определенного интеграла (22)

Называется формулой Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим применение определенного интеграла к расчету площадей.

Пример 1. При раскрое материала для пошива изделия выяснилось, что при использовании лекала, с границей Y = X3 Из куска высотой H = 64 см., остается неиспользованным кусок материала (остаток), размеры которого необходимо определить для оценки возможного дальнейшего использования. Эта ситуация легко представляется (рис.19) с помощью построения графиков функции Y = X3 и Y(H) = 64 (const).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.20. Расчет площадей

Для расчета площади S2, которую очевидно необходимо найти по условию задачи, вначале вычислим координату Xl пересечения обоих графиков. Результат совместного решения уравнений прямой (константы) и функции Y = X3 представлен на рисунке (в рамке). Там же даны результаты вычисления общей площади S = S1 + S2 куска используемого материала, как произведение высоты H на длину Xl. Теперь воспользуемся поиском площади S2 С помощью определенного интеграла:

Пример 2. Этот пример посвятим предпринимателю, который сам изготавливает товар (Q) и затем самостоятельно его реализует на рынке в условиях меняющейся, в соответствии со спросом, цены (Р). Пусть для определенности, цена единицы товара уменьшается пропорционально его количеству на рынке, то есть по линейному закону с отрицательным коэффициентом: . Тогда доход от продажи товаров запишется в виде: R(Q) = PQ = (-AQ + P0)Q = -AQ2 + P0Q. Так как перед коэффициентом А стоит знаком минус, парабола, выражающая зависимость R(Q), будет перевернутая (рис.21). Она имеет с осью 0Q пересечения в точках Q1 = 0 И Q2 = P0/A, что легко получить при подстановке R(Q) = 0. Наибольшую прибыль можно рассчитать как экстремальную точку на графике функции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 21. Расчет прибыли

R’= 0, то есть (-AQ2 + P0Q)’= 0 → -2AQ = -P0 → QM = P0/2A.

Получаемая прибыль П зависит не только от продажи товаров, но и от потерь (издержек, затрат и пр.), которые уменьшают величину прибыли. Поэтому можно написать: П = R – C, где С(Q) определяет эти издержки. Издержки, в свою очередь, делятся на постоянные С0 (например, арендная плата) и переменные, величина которых пропорциональна количеству произведенного товара (производственные затраты). Таким образом, С = С0 + сQ. Линейная функция затрат изображена на том же графике, что и кривая доходов, получаемых от продажи товара. Очевидно, что чистой прибыли соответствует участок заштрихованной площади, где доход превышает затраты. При знании конъюнктуры рынка можно избрать стратегию, при которой учитывается, что участие на рынке и производство товара становится не выгодным. Этому моменту соответствует точка Q2 на графике.

Вычислим чистую прибыль интегрированием. Для этого сначала необходимо найти пределы интегрирования, то есть положения точек Q1 и Q2 Совместным решением системы уравнений при R = C:

  aQ2 + bQ = R;

 C0 + cQ = C. (23)

(?): Какими будут величины Q1,Q2, если известны А, B, C, C0.

Вычисление полной прибыли SП (заштрихованная область на рис. 21), в общем виде, производится следующим образом:

.

После подстановки конкретных данных из системы (23) в полученное выражение, будем иметь окончательный численный ответ.

Иногда величина, которая исследуется математическими методами, является функцией от нескольких переменных. Например, количество произведенного товара Q на производстве может зависеть от времени T, от числа работающих L, от количества станков разного типа Ni и т. п. Тогда функция записывается следующим образом: Y = Q(L, N1, N2, …,T). В то же время, можно анализировать функцию, зависящую в частном случае от одной из этих переменных, которая в рассматриваемых условиях считается независимой, а другие переменные фиксируются как постоянные. Тогда, встречающиеся в модели производные по этой переменной, называют частными производными и обозначают с помощью «частных» дифференциалов: . Производная, вычисляемая затем по другой переменной от полученной функции, записывается следующим образом: и называется Второй смешанной производной.

Если при решении конкретной задачи рассматривается зависимость Только от одной (из многих) переменной Q(T), то можно считать, что другие переменные просто отсутствуют, и тогда обычная производная и частная обозначаются одинаково.

Пример 3. Следующий пример будет касаться Математического моделирования процессов производства Товаров на основе записи и решения дифференциальных уравнений с первой производной.

Пусть некоторая фирма собирается изготовить определенный товар и ее владелец дает задание: оценить количество товара Q, которое может быть произведено за 4 года. Очевидно, что на этот вопрос может дать ответ некоторая Производственная функция G(T), определяющая Скорость производства товаров за единицу времени: (DQ/Dt). Производственная функция, в свою очередь, зависит от одновременных затрат труда F(T) и вложения капитала K(T). Тогда G(T)=F(T)∙K(T). (24)

Оценим каждую из этих функций. Естественно предположить, что Труд затрачивается Пропорционально времени (в среднем). Поэтому F(T) = At + B. Затраты капитала с течением времени K(T) можно оценивать по разному, но наиболее естественно предположить, что Скорость вложения капитала DK/Dt В производство Пропорциональна величине капитала, растущего с течением времени, то есть можно записать:

DK/Dt = RK, где коэффициент пропорциональности R определяет процентную долю капитала, вкладываемого за единицу времени. Это уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Решить данное уравнение – это значит найти функцию K(T).

Решение такого типа уравнений обычно производят Методом разделения переменных: в одну сторону уравнения переносят все, что касается функции, а в другую переносят все, что касается аргумента. После этого вид функции ищется интегрированием.

.

После потенцирования (применения операции, обратной логарифмированию) получаем: . Смысл константы ЕС становится понятным, если в полученное решение ввести начальный момент времени T = 0. Тогда K(0) = EC = K0 и эта константа получает смысл начального капиталовложения К0. Окончательное выражение для функции, определяющей затраты капитала с течением времени, будет выглядеть следующим образом: K(T) = K0Ert. Следует обратить внимание, что мы уже знакомы с такой функциональной зависимостью в виде экспоненты при предельном анализе накоплений по схеме сложного процента (§5). В рассматриваемой задаче, окончательный вид производственной функции становится определенным в соответствии с формулой (24): . (25)

Возникшее новое дифференциальное уравнение (25) решается таким же образом, что и предыдущее, то есть методом разделения переменных.

Для получения конкретного результата в этом уравнении введем определенные, условно выбранные, значения констант: A = 1,B = 1,K0 = 1, R = 3. Тогда, в соответствии с (25), имеем уравнение:. Решение этого уравнения и будет ответом на поставленную задачу.

Задача решена.

Пример 4.

В заключение, решим задачу из биологии, которую одновременно можно рассматривать как обоснование экономичности использования математического языка по сравнению с естественным языком при описании сложных явлений. Будем прогнозировать процесс размножения клеток одноклеточных бактерий в питательной среде с течением времени. Подобные задачи роста и накопления могут встретиться при принятии обоснованных решений во многих областях человеческой деятельности, например, в медицине и экологии. В приводимой таблице, слева вводится словесная (вербальная) модель явления, а справа ее математическое «оформление».

 ЯЗЫК

ЕСТЕСТВЕННЫЙ ЯЗЫК МАТЕМАТИКИ

Символ “u” обозначает число клеток (бактерий) Переменная U(T)

В среде в любой момент времени.

Количество клеток в первый момент времени U1(T1)

Количество клеток во второй момент времени U2(T2)

Изменение (рост) числа клеток в интервале

Между первым и последующим моментами ΔU = U2 – U1

Времени (количество выросших клеток).

Интервал времени, соответствующий изменению ΔT = T2 – T1

Количества клеток.

Малое изменение количества клеток Du

За малый интервал времени Dt

Назовем мгновенной скоростью роста количество

Клеток, выросших за единицу времени. Это число Du/Dt

Получится при делении количества клеток на

Интервал времени их роста.

Если количество клеток в конце интервала времени Du/Dt > 0

Больше, чем в начале, то скорость роста положительна,

Если меньше, то отрицательна. Du/Dt < 0

Если количество клеток увеличивается пропорцио – Du/Dt = Const

Нально времени, то скорость роста постоянна. Если

Рост ускоренный, то скорость положительная. Du/Dt > 0

Если клетки распадаются или уничтожаются, то

Их количество в конце интервала времени меньше, Du/Dt < 0

Чем в начале (скорость роста отрицательная).

Рост замедленный.

Если количество клеток не меняется, то скорости Du/Dt = 0

Роста нет (равна нулю).

Скорость роста может увеличиваться пропорциональ - Du/Dt = Ku

Но изменяющемуся количеству клеток.

Скорость роста может изменяться пропорционально Du/Dt = - Gu

Убывающему количеству клеток.

Если клетки «конкурируют» друг с другом в борьбе

За пищу и из двух клеток «выживает» только одна, то Du/Dt = - Gu2

Скорость изменяется пропорционально убывающему

Количеству пар клеток. Число пар пронумерованных

Клеток приблизительно равно u2, если не учитывать

Пары с одинаковыми номерами, так как при больших

Числах U2 >> U Это показано на примере с небольшим

Количеством клеток u = 5:

В таблице бактерии разбиты на пары, а цифрами

Обозначены их номера.

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5

Если идет одновременный процесс роста клеток и Du/Dt = Ku – Gu2

Их конкуренция, то получается общий закон роста.

Анализируя, записанное справа окончательное уравнение, которое следует назвать математической моделью размножения бактерий, можно получить некоторые результаты, не решая самого уравнения. Действительно, как только процесс деления скомпенсирует процесс конкуренции, величины Ku и Gu2 станут равными. Это приведет к равенству нулю производной: Du/Dt = 0, откуда последует, что U = Const (Ku = Gu2 → K – Gu = 0 → U = K/G = Const). На этой стадии эксперимента количество клеток перестает увеличиваться, то есть, в момент времени TK Наступает стационарная фаза. График изменения скорости процесса с течением времени представлен на рис. 22 черными точками. Очевидно, что точка TK определяется в тот момент, когда графики функций отдельных процессов пересекаются.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 22. График скорости роста клеток во времени

Полное решение поставленной задачи является относительно громоздким, особенно вместе с обсуждением полученного результата. Поэтому для тех, кого интересуют проблемы размножения бактерий, а затем и проблемы устойчивого существования и роста биосистем (и не только биологических) в условиях конкуренции и согласования интересов, соответствующий анализ, а также другие модели они могут найти в Приложении III.

< Предыдущая		Следующая >