3.5. Нахождение вертикальных асимптот

Рисунок 3.14 свидетельствует: если прямая – вертикальная асимптота графика функции , то должны выполняться два условия:

1) A – точка разрыва функции ; (3.1)

2) (+¥ или –¥) или (+¥ или –¥).

И обратно, если выполняются оба условия (3.1), то прямая – вертикальная асимптота графика функции .

Из сказанного вытекает следующая Схема нахождения вертикальных асимптот графика функции :

1) Находим все точки разрыва (А1; А2; …) функции, то есть те изолированные точки оси Ох, в которых функция не определена (ибо там, где элементарная функция определена, там она и непрерывна).

2) Каждую из точек разрыва проверяем на выполнимость второго условия (3.1).

Пример 1. Найти вертикальные асимптоты графика функции

И сделать геометрическую иллюстрацию полученного результата.

Решение. Данная функция не определена, а следовательно, разрывна лишь в двух точках оси Ох: и . Проверим каждую из них на выполнимость второго условия (3.1):

; .

Второе условие (3.1) выполняется для точки и не выполняется для точки . Значит, лишь прямая является вертикальной асимптотой графика нашей функции, причем и при , и при . А прямая (ось Оу) вертикальной асимптотой графика функции не является. Геометрическая иллюстрация полученных результатов дана на рис. 3.15.

На этом рисунке представлено лишь то, что выяснено выше: поведение функции Y возле ее точек разрыва и . Вдали от этих точек мы эту функцию не исследовали, поэтому ее график не известен (он лишь намечен пунктирной линией).

 

 

 

 

 

 

 

 

< Предыдущая		Следующая >