1.15. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Дискретная случайная величина Х считается заданной, если известен список (Х1; х2; X3; … хN) всех её возможных значений, а также известны вероятности (Р1; р2; P3; … рN) принятия ею этих её возможных значений. Эти данные оформляются в виде таблицы,

X	Х1 х2 X3 ……хN	(1.1)
P	Р1 р2 P3 ……рN

Которая называется Законом распределения Дискретной случайной величины Х.

Отметим, что сумма вероятностей Р1+р2+…+рN представляет собой, согласно формуле (4.10) главы 1 для попарно несовместных событий, вероятность принятия случайной величиной Х Хотя бы одного из своих возможных значений (или Х1, или Х2, … или XN). То есть представляет собой вероятность достоверного события – события, которое произойдет обязательно. Но вероятность достоверного события равна единице. Таким образом:

р1+р2+…+рN=1 (1.2)

Это равенство должно выполняться в любом законе распределения (1.1).

Пример1. В лотерее разыгрываются 200 лотерейных билетов. Из них 2 билета содержат выигрыш по 1000 рублей, 5 билетов по 500 рублей, 10 билетов по 300 рублей и 25 билетов по 100 рублей. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Искомый закон распределения очевиден:

Х	0	100	300	500	1000
Р	0,79	0,125	0,05	0,025	0,01

На практике обычно важно знать не столько сам закон распределения дискретной случайной величины (таблицу), сколько некоторые суммарные (обобщающие) числовые характеристики этой случайной величины, характеризующие её в целом. В частности, на практике наиболее важно знать:

А) среднее значение Хср случайной величины;

Б) степень разброса её возможных значений (Х1; х2; … хN) вокруг её среднего значения Хср.

Начнем с того, что найдем среднее значение Хср дискретной случайной величины Х. Пусть таблица (1.1) – закон её распределения. Представим себе, что будет проведено N повторных испытаний. Так как (Р1; р2; … рN) – вероятности появления значений (Х1; х2; … хN) случайной величины Х, то согласно формуле (1.1) главы 1 эти значения появятся в среднем (Р1N; P2N; … PnN) раз соответственно. Тогда среднее из всех этих N Значений будет, очевидно, таким:

хср = (1.3)

Это среднее значение дискретной случайной величины Х Является Наиболее ожидаемым её значением для каждого отдельного испытания, и потому называется Математическим ожиданием Случайной величины Х. Оно обозначается символом М(Х). Итак,

М(Х)=хср= (1.4)

- математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины Х. Вокруг математического ожидания группируются реальные средние значения случайной величины Х в различных сериях испытаний.

< Предыдущая		Следующая >