1.11. Формулы умножения вероятностей для произвольного числа любых событий
Пусть 
- произвольные случайные события. Если эти события независимы в совокупности, то опираясь на формулу (4.7) для двух событий, получаем:
=
=│учтем, что события 
И 
Независимы│= (4.14)
=
Итак, если события независимы в совокупности, то
(4.15)
Если же эти события зависимы, то опять реализуя схему (4.14) по последовательному “отщеплению” отдельных событий, но используя уже формулу (4.6), получим:
(4.16)
Таким образом, учитывая (4.15) и (4.16), получаем следующие итоговые формулы для вероятности произведения произвольного числа любых случайных событий:
- если события 
независимы в совокупности (4.17)
- если
события Зависимы
А теперь рассмотрим примеры решения задач с применением формул сложения и умножения вероятностей.
Пример 1. Два стрелка по разу стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7, а для второго 0,8. Найти вероятность того, что
А) в мишень попадут оба; б) оба промахнутся; в) попадет хотя бы один из них; г) попадет только один из них.
Решение. Введем обозначения:
событие А1 – попадание первого стрелка в мишень;
событие А2 – попадание второго стрелка в мишень;
событие А – попадание обоих;
событие В – промах обоих;
событие С – попадание хотя бы одного из них;
событие D – попадание только одного из них.
По условию задачи, 
А) Найдем 
. Очевидно, что 
Поэтому
│учтем, что события и 
независимы│=
=
=0,7·0,8=0,56.
Б) Найдем 
. Учтем, что 
Поэтому
|учтем, что события 
и 
независимы| =
=
=
=0,3·0,2=0,06.
В) Найдем 
. Учтем, что 
Поэтому 
=׀учтем, что события и совместны׀=
=
Заметим, что можно было найти и иначе, если учесть, что 
=
:
Г) Найдем 
. Учтем, что 
. Поэтому
=׀учтем, что события 
и 
несовместны׀ =
=
=
=│учтем, что множители в обоих произведениях независимы│=
=
Таким образом, из четырех рассмотренных событий (А; В; С; D) наиболее вероятным является событие С – попадание в мишень хотя бы одного из двух стрелков. Его вероятность равна 0,94. Это значит, что В среднем из каждых 100 парных выстрелов будет 94 таких, когда в мишень кто-либо из двух стрелков попадет. А наименее вероятным является событие В – промах обоих. Его вероятность равна 0,06. Это значит, что В среднем из каждых 100 парных выстрелов будет лишь 6 таких, когда оба стрелка промахнутся.
Пример 2. Из колоды в 36 карт наудачу последовательно вынимаются две карты. Какова вероятность того, что они обе окажутся тузами?
Решение. Введем обозначения:
событие А1 – первая вынутая карта туз;
событие А2 – вторая вынутая карта туз;
событие А – обе вынутые карты тузы.
Очевидно, что А=А1·А2. Поэтому
│учтем, что события И зависимые│=
Примечание. В примере 9, §2 мы рассмотрели эту же задачу, но при условии, что обе карты вынимаются из колоды не по очереди, а сразу (парой). Вероятность того, что они обе окажутся тузами, оказалась той же:
. И это совершенно естественно, ибо выбирать какие-то объекты из какой-либо их совокупности по очереди или сразу – это одно и то же и сточки зрения теории вероятностей, и с точки зрения здравого смысла.
Пример 3. На связке 4 ключа. К замку подходит только один ключ. Найти вероятность того, что потребуется не менее трех попыток открыть замок, если опробованный ключ в дальнейших испытаниях не участвует.
Решение. Введем обозначения:
событие А1 – подойдет первый опробованный ключ;
событие А2 – подойдет второй ключ;
событие А3 – подойдет третий ключ;
событие А4 – подойдет четвертый ключ;
событие А – понадобится не менее трех попыток открыть замок.
Очевидно, что 
Поэтому
│учтем, что события 
и 
несовместны│=
=
│учтем, что 
; 
│=
=
+ 
=
=│учтем, что множители – события зависимые│=
=
=
=
.
Впрочем, эту задачу можно было бы решить и гораздо проще. Действительно ни один из четырех ключей не имеет заведомых преимуществ по сравнению с другими ключами. Поэтому:
.
А тогда
Упражнения
1. Бросаются три игральные кости. Найти вероятность того, что:
а) На всех трех костях выпадет одинаковое число очков.
б) Произведение выпавших очков будет четным.
в) Сумма выпавших очков будет больше 4.
Ответ: а)
; б)
; в)
.
2. Отрезок разделен на три равные части. На этот отрезок наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что на каждую часть отрезка попадает по одной точке.
Ответ: 
.
3. Студент знает 25 из 30 экзаменационных вопросов. Найти вероятность того, что из трех заданных вопросов студент знает: а) не менее двух вопросов; б) все три вопроса.
Ответ: а)
; б)
.
4. Четыре человека делают по одной попытке при совершении некоторого действия. Средний процент удачных попыток для них соответственно равен: 30%; 40%; 50%; 60%. Найти вероятность того, что:
а) Все четыре попытки окажутся удачными.
б) Все четыре попытки окажутся неудачными.
в) Хотя бы одна из попыток окажется удачной.
Ответ: а) 0,036; б) 0,084; в) 0,916.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
