1.05. Сумма и произведение событий

Определение 5. Суммой случайных событий (А1; А2; …АN) называется событие В

А1 + А2 +…. АN = В, (3.2)

Состоящее в появлении Хотя бы одного Из складываемых событий (или А1, или А2, … или АN).

Таким образом, в теории вероятности знак сложения (+) означает союз «или».

Определение 6. Произведением случайных событий (А1; А2; …АN) называется событие С

А1· А2 ···АN = С, (3.3)

состоящее в появлении Всех перемножаемых событий (и А1, и А2, … и АN).

Таким образом, в теории вероятности знак умножения (·) означает союз «и».

Пример 5. Пусть (А1; А2; А3) – события, состоящее в попадании в мишень первого, второго и третьего стрелков соответственно. Тогда В = А1 + А2 + А3 – событие, состоящее в попадании в мишень Хотя бы одного из стрелков, а С = А1 · А2 ·А3 – событие, состоящее в попадании в мишень Всех трёх стрелков.

Суммы и произведения событий обладают следующими очевидными Свойствами:

1. А+В=В+А – переместительный закон сложения.

2. (А+В)+С=А+(В+С) – сочетательный закон сложения.

3. А·В=В·А – переместительный закон умножения. (3.4)

4. (А·В)·С=А·(В·С) – сочетательный закон умножения.

5. (А+В)·С=А·С+В·С – распределительный закон сложения и умножения.

Свойства (3.4) для случайных событий полностью аналогичны соответствующим свойствам для чисел. Но есть и отличные свойства:

1) А+А=А; 2) А·А=А; 3) (А+В)·А=А; 4) (АВ)·А=АВ. (3.5)

(продумайте эти свойства самостоятельно).

Определение 7. Символом Ā обозначается Событие, противоположное событию А. То есть Ā – это Непоявление события А.

Пример 6. Если событие А – попадание стрелка в мишень, то событие Ā – его промах по мишени. Если А – выпадение орла при бросании монеты, то Ā – выпадение решки. Если А– выпадение пятёрки при бросании игральной кости, то Ā – выпадение любой другой цифры. Если событие А – попадание брошенной точки на одноимённую область А (рис.1.1), то событие Ā – непопадание в эту область. И так далее. Очевидно, что

= 1-, откуда = 1- (3.6)

Последнее равенство (3.6) является ещё одной формулой (в дополнение к формулам (1.1)-(1.4)) для подсчета вероятностей случайных событий. Ею удобно пользоваться в тех случаях, когда вероятность противоположного события Ā найти проще, чем вероятность самого события А.

Пример 7. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что хотя бы на одной из них не выпадет шестёрка.

Решение. В данной задаче испытание – это бросание двух костей, а событие А – это невыпадение шестёрки хотя бы на одной из них. Событию А Благоприятствуют, очевидно, много различных исходов испытания (например, 2-5; 3-6; 6-1, и т. д). И лишь один исход (6-6) благоприятствует событию Ā, противоположному событию А (событие Ā – это выпадение двух шестёрок). Так как всех возможных исходов испытания, очевидно, 36, то по классической формуле (1.3)

= 1/36.

Значит, по формуле (3.6) получаем:

= 1- = 1 - 1/36 = 35/36.

Событие А (любое) и ему противоположное событие Ā Обладают следующими очевидными свойствами:

1) А+Ā – достоверное событие; P(А+Ā) = 1.

2) А·Ā – невозможное событие; P(А·Ā) = 0. (3.7)

Упражнения

1. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что:

А) Сумма выпавших очков будет больше 10?

Б) Сумма выпавших очков будет не больше 10?

Ответ: а) 1/12; б) 11/12.

2. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что

А) Произведение выпавших очков будет чётным?

Б) Произведение выпавших очков будет нечётным?

Ответ: а) 3/4; б) 1/4.

3. Какова вероятность того, что первые три встречные прохожие:

А) Родились в один день?

Б) Родились в разные месяцы?

В) Родились летом?

Г) Хотя бы один из них родился летом?

Д) Никто из них летом не родился?

Ответ: а) 1/144; б) 55/72; в) 1/64; г) 37/64; д) 27/64.

< Предыдущая		Следующая >