2.6 Операции над векторами, заданными в координатной форме

Прежде всего, заметим, что проекция суммы векторов на любую ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Как следствие из этого предложения и определения координат вектора вытекают следующие правила.

1. Два вектора равны, если равны их координаты.

2. При сложении векторов, заданных в координатной форме, их координаты складываются:

Если

, ,

То

. (2.7)

3. При вычитании векторов, заданных в координатной форме, их координаты вычитаются:

(2.8)

4. При умножении вектора на скаляр надо все его координаты умножить на этот скаляр:

Если

,

То

. (2.9)

Теперь легко получить Условия коллинеарности двух векторов. Пусть даны два ненулевых коллинеарных между собой вектора и . Если векторы и коллинеарны, , , то всегда можно найти такой постоянный множитель l ¹ 0, что .

В координатной форме имеем .

Векторы и равны, а значит, равны их координаты, следовательно,

X1 = lX2, Y1 = lY2,Z1 = lZ2.

Определяя l из каждого из этих трех равенств, можно составить пропорции

. (2.10)

Полученное равенство является условием коллинеарности двух векторов.

Угол между осью координат и вектором

Углы a, b, g (рисунок 13), образуемые положительными направлениями ОХ, OY, OZ с вектором {X, Y, X}, можно найти по формулам:

; (2.11)

; (2.12)

. (2.13)

Рисунок 13

Если вектор единичный, т. е. || = 1, то cos a = X, cos b = Y, cos g = Z. Из формул (2.11), (2.12), (2.13) следует, что

cos2a + cos2b + cos2g = 1. (2.14)

Величины cosa, cosb, cosg называются Направляющими косинусами вектора .

Пример. Найти направляющие косинусы вектора {2, –2, –1}.

Решение

Деление отрезка в данном отношении

Пусть на прямой заданы концы отрезка А1А2 координатами точек А1(X1, Y1, Z1) и А2(X2, Y2, Z2). Возьмем произвольную точку А(X, Y, Z) на той же прямой (рисунок 14) такую, что

(2.15)

Выразим координаты точки А через концы А1 и А2 и число L.

Распишем векторное равенство (2.15) покоординатно:

X2 – X1 = λ(X – X1); Y2 – Y1 = λ(Y – Y1); Z2 –Z1 = λ(Z – Z1).

Рисунок 14

Отсюда легко получить искомые координаты:

(2.16)

В частности, координаты середины отрезка А1А2 равны

, , . (2.17)

Заметим, что в случае, если направление вектора противоположно направлению , то число l < 0.

Пример. Найти координаты точки А, делящей отрезок А1А2 в отношении 2/3, если А1(2, 4, –1), А2(–3, –1, 6).

По формулам (2.16) находим:

.

< Предыдущая		Следующая >