1.5 Правило Крамера

Рассмотрим для начала случай одного уравнения первой степени с одним неизвестным

.

При решении этого уравнения возможны три случая:

1. Если , то уравнение имеет единственное решение .

2. Если , то уравнение имеет бесчисленное множество решений. Действительно, любое действительное число является решением, так как .

3. Если , то уравнение не имеет решений.

Такие же три случая возможны и при решении произвольной системы линейных уравнений, в чем мы убедимся в курсе алгебры в одной из последующих юнит. Рассмотрим теперь формулы Крамера, которые позволяют найти решение систем линейных уравнений через отношения соответствующих определителей.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

(1.9)

Матрица коэффициентов при неизвестных

Называется матрицей системы; вектор – вектором правых частей, а – вектором неизвестных системы.

Найти решение системы, это значит найти числа X1, X2, удовлетворяющие уравнениям системы. Умножим первое уравнение системы на A22, а второе – на A12 и вычтем из первого уравнения второе. В результате коэффициент при X2 станет равным нулю, и мы получим формулу для вычисления неизвестной величины X1

(A11A22 – A21A12)X1 = (B1A22 – B2A12). (1.10)

Видно, что коэффициент при X1 является определителем матрицы А:

А в правой части равенства стоит определитель, полученный из матрицы А заменой первого столбца вектором правых частей; обозначим его

.

Уравнение (1.10) можно теперь записать так:

D × X1 = D1.

Пусть D ¹ 0, тогда

(1.11)

Аналогично можно показать, что

(1.12)

Здесь , то есть определитель D2 получен из определителя D путем замены второго столбца вектором правых частей. Формулы (1.11) и (1.12) называют правилом Крамера.

Итак, справедлива теорема. Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по правилу Крамера.

Правило Крамера верно для произвольной системы N уравнений с N неизвестными. Формулы в этом случае имеют вид:

(1.13)

Здесь D – определитель матрицы системы, а DI – определитель, полученный из D путем замены I-го столбца на столбец (вектор) правых частей.

< Предыдущая		Следующая >