4. Понятие линейного пространства

Часто приходится встречаться с объектами, над которыми производятся операции сложения и умножения на число. Примеры можно найти в различных областях алгебры, геометрии и анализа, а также в прикладных задачах, например, в экономике. Природа этих объектов различна и операции сложения и умножения на число определяются по-разному, но эти операции обладают общими свойствами.

Приведем несколько примеров.

1. Введенные в нашей юните понятия двухмерных и трехмерных векторов с принятыми правилами сложения векторов и умножение вектора на число.

2. Пространство Rn с покомпонентным сложением векторов и умножением на число:

Y, , x=(x1,x2,…., xn), y=(y1, y2, ….yn), x+y=(x1+y1, x2+y2, …,xn+yn);

X=(X1, X2, …,Xn) (см. 1457.02.01)

3. Совокупность вещественных матриц одного порядка с введенными операциями сложения двух матриц и произведения матрицы на число (см. также в 1457.02.01).

4. В анализе определяются операции поточечного сложения функций f1(t)+f2(t ) и умножения функции f(t) на число α, α f(t). Для определенности можно рассматривать совокупность всех непрерывных функций на отрезке . Множество таких функций обозначают . Подробно можно ознакомиться и с другими примерами в юните 1457.03.01. Для изучения всех подобных примеров с единой точки зрения вводиться понятие Линейного пространства.

Определение:

Множество R элементов x, y, z, … называется Линейным пространством, если

А) каждым двум элементам x и y поставлен в соответствие элемент z=x+y, который называют суммой элементов x и y;

Б) каждому элементу x и каждому числу λ из некоторого поля ( например, вещественному λ) поставлен в соответствие элемент λ x, называемый произведением λ на x.

Введенные операции удовлетворяют аксиомам:

10. x +y = y +x (коммутативность)

20. (x+y) + z = x + (y+z) (ассоциативность)

30. Существует Нулевой элемент О такой, что x+О = О+x = x,

40. Для каждого существует Противоположный элемент и такой, что .

Кроме того, выполняются условия для любых чисел ;

,

Для любых εR.

Легко проверить, что в приведенных выше примерах все аксиомы выполняются. Наряду с термином Линейное пространство в литературе используют термины Векторное пространство и аффинное пространство. Иногда термину Аффинное пространство придается иной смысл.

Мы будем пользоваться термином Линейное пространство.

В линейных пространствах вводятся понятия линейной зависимости, базиса и размерности (см. юниту 1457.03.01).

В наших курсах мы рассматриваем, в основном, пространства конечной размерности. Напомним, что если в линейном пространстве R выбран базис e1, e2, …, en, то любой вектор может быть однозначно разложен по этому базису:

- координаты x по базису .

< Предыдущая		Следующая >