3.5.2. Однополостный гиперболоид

Поверхность, задаваемая каноническим уравнением

Называется Однополостным гиперболоидом. Постоянные положительны и называются полуосями гиперболоида.

1. Как и эллипсоид, эта поверхность центральная с центром симметрии в начале координат; оси координат являются осями симметрии, а координатные плоскости – плоскостями симметрии однополостного гиперболоида.

2. Рассмотрим сечения гиперболоида координатными плоскостями XOZ и YOZ. Сечение плоскостью XOZ задается уравнениями

,

Определяющими гиперболу, расположенную симметрично относительно координатных осей OX, OZ и пересекающую ось OX в точках , .

Сечение плоскостью YOZ определяется уравнениями

,

задающими гиперболу, расположенную симметрично относительно координатных осей OY, OZ и пересекающую ось OY в точках , .

Рассмотрим теперь сечение гиперболоида плоскостями z = h. Эти сечения определяются уравнениями

.

Отсюда видно, что любая плоскость z = h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями

, ,

Расположенному симметрично относительно плоскостей XOZ и YOZ; величины , имеют наименьшее значение при h = 0, иначе говоря, самых малых размеров эллипс получается в сечении координатной плоскостью XOY (z = 0), этот эллипс называется Горловым сечением однополостного Гиперболоида, его уравнение имеет вид ; при возрастании значения И бесконечно возрастают.

Сопоставляя изложенное, можно сказать, что однополостный гиперболоид имеет вид бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся в обе стороны от горлового сечения. Этот гиперболоид имеет три плоскости симметрии, при данном выборе системы координат эти плоскости совпадают с координатными плоскостями XOY, XOZ, YOZ (рис. 11)

При = однополостный гипербо-лоид превращается в гиперболоид враще-ния , он может быть получен вращением гиперболы , вокруг оси OZ.

Рис. 11.

< Предыдущая		Следующая >