1.2 Линии и их уравнения

В предыдущем параграфе было показано, что в декартовой системе координат каждой точке плоскости соответствует упорядоченная пара действительных чисел и, наоборот, каждой паре чисел соответствует определенная точка плоскости.

Можно установить, что линиям на плоскости соответствуют уравнения с двумя переменными. Связь между уравнениями и линиями позволит свести изучение геометрических свойств Линий к исследованию Аналитических свойств соответствующих им уравнений.

В аналитической геометрии всякую линию рассматривают как геометрическое место точек, удовлетворяющих определенному свойству.

Линии на плоскости соответствует некоторое уравнение с двумя переменными х и у,
F(x, y) = 0, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней. Такое уравнение называется Уравнением данной линии. Входящие в это уравнение координаты Х и У произвольной точки линии называются Текущими координатами.

Пример 1.2. Составить уравнение окружности радиуса R. Выберем произвольно оси координат. Тогда центр С данной окружности будет иметь координаты А и B. Окружность с центром в точке C(A, B) и радиусом R можно рассматривать как геометрическое место точек плоскости, удаленных от точки С на расстояние R. Это значит, что для любой точки М, лежащей на окружности, MC = R. Обозначим координаты точки М через Х и У, и, определяя МС как расстояние точки М от центра С окружности, получаем следующее равенство:

Возведя обе части равенства в квадрат, получим искомое Уравнение окружности

(X – A)2 + (Y – B)2 = R2. (1.3)

В этом уравнении постоянные А, B – координаты центра окружности, R – радиус окружности; переменные Х и У являются текущими координатами произвольной точки окружности.

В частности, если центр окружности находится в начале координат, т. е. A = B = 0, то уравнение окружности имеет более простой вид

X2 + Y2 = R2. (1.4)

Можно утверждать, что всякая линия, рассматриваемая как геометрическое место точек, аналитически определяется уравнением, связывающим координаты ее точек.

< Предыдущая		Следующая >