14.3. Задачи

Задача 1. Система банка «Автодор» позволяет клиенту совер­шать некоторые банковские операции, не выходя из машины. Утром в рабочие дни прибывает в среднем 24 клиента в час. При­бытие клиентов описывается законом Пуассона. Время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью об­служивания 36 клиентов в час.

Определите следующие характеристики системы:

Среднее число клиентов в очереди;

Среднее число клиентов в системе;

Среднее время ожидания;

Среднее время, которое клиент проводит в системе.

Вопросы:

1. Сколько клиентов в среднем прибывает за 5 мин?

2. Каковы вероятности того, что ровно 0, 1, 2, 3 клиента при­будут за 5 мин?

3. Если в течение 5 мин прибывает более 3 клиентов, то воз­никает проблема перегруженности системы. Какова вероят­ность возникновения такой проблемы?

4. Каковы вероятности того, что время обслуживания соста­вит: а) не более 1 мин; б) не более 2 мин; в) более 2 мин?

5. Какова вероятность того, что прибывающему клиенту при­дется ждать обслуживания?

6. Каковы вероятности того, что в системе находится: а) 0 кли­ентов; б) 3 клиента; в) более 3 клиентов?

Задача 2. Автосервис решил нанять механика для того, чтобы он менял старые покрышки на новые. На это место есть два кан­дидата. Один из них имеет ограниченный опыт и может быть на­нят за 7 долл. в час. Ожидается, что этот механик сможет обслу­живать 3 клиента в час. Другой механик более опытен, он в со­стоянии обслужить 4 клиента в час, но его можно нанять на работу за 10 долл. в час. Клиенты прибывают со скоростью 2 клиента в час. Компания оценивает издержки по ожиданию клиентами своей очереди в 15 долл. в час. Предполагая пуассоновское распреде­ление прибытия и экспоненциальное — времени обслуживания, определите:

Среднее время, которое клиент проводит в очереди;

Среднюю длину очереди;

Среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания;

Среднее число клиентов в системе обслуживания;

Вероятность того, что система обслуживания окажется свобод­ной при условии найма одного или другого механика.

Вопросы:

1. Какого механика следует нанять, чтобы обеспечить меньшие совокупные издержки?

2. Каковы минимальные совокупные издержки?

Задача 3. «У Петра» — маленький магазин с одним прилавком. Предположим, что покупатели прибывают в магазин по закону Пуассона со средней скоростью 15 покупателей в час. Время об­служивания распределено экспоненциально, средняя скорость обслуживания — 20 покупателей в час. Рассчитайте:

Среднее время, которое покупатель проводит в очереди;

Среднюю длину очереди;

Среднее время, которое покупатель проводит в магазине;

Среднее число покупателей в магазине;

Вероятность того, что в магазине не окажется покупателей.

Владелец магазина установил, что затраты, связанные с ожи­данием, выражаются в снижении спроса и равны 2 долл. за один час ожидания. Он решил ограничить среднее время ожидания обслуживания пятью минутами. Можно попытаться достигнуть этого, реализовав одну из следующих альтернатив:

А. Нанять продавца, который бы выполнял заказ, в то время как кассир рассчитывается с покупателем (часовая оплата каждо­го — 3 долл.). Это позволит увеличить среднюю скорость обслу­живания до 30 покупателей в час.

В. Нанять второго кассира (часовая оплата — 3 долл.), тем са­мым создав в магазине двухканальную очередь (средняя скорость обслуживания — 20 клиентов в час для каждого работника).

Вопрос: Какую альтернативу следует выбрать?

Задача 4. В верхнем течении Волги построена новая станция по обслуживанию речных судов. Суда прибывают по закону Пу­ассона со средней скоростью 5 судов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслужива­ния 10 судов в час. В среднем издержки по простою речного суд­на составляют 100 долл./ч, а издержки по обслуживанию дока — 75 долл./ч.

Вопросы:

1. Какова вероятность того, что док будет пуст?

2. Каково среднее число судов в очереди?

3. Каково среднее время ожидания обслуживания?

4. Каково среднее время пребывания в доке?

5. Администрация станции рассматривает возможность введе­ния в строй еще одного дока с той же скоростью обслужи­вания. Есть ли в этом необходимость?

Задача 5. «Гибкий путь» — небольшой супермаркет в одном из районов города. Покупатели прибывают в магазин по закону Пуассона со средней скоростью 15 человек в час. На выходе из су­пермаркета стоит один кассовый аппарат, и обслуживает его один кассир. Время, затраченное на расчеты с клиентом, распределено экспоненциально и в среднем равно 3 мин.

Владелец магазина решил приобрести второй кассовый аппа­рат в целях сокращения времени, проводимого клиентами в оче­реди, для чего необходимо нанять второго кассира. Часовая оплата кассира — 2 долл. Затраты, связанные с ожиданием в очереди, приводят к снижению потребительского спроса и оцениваются в среднем в 3 долл. за час.

Вопросы:

1. Есть ли необходимость в приобретении второго кассового аппарата с точки зрения экономического эффекта? (Амор­тизационные отчисления от приобретенного кассового ап­парата и затраты на его обслуживание пренебрежимо малы, поэтому в расчетах их можно не учитывать.)

2. Приобретение третьего кассового аппарата приведет к даль­нейшему сокращению очереди, но есть ли в этом необходи­мость с точки зрения экономического эффекта?

Задача 6. Предприятие быстрого питания обслуживает кли­ентов, прибывающих на автомашинах по закону Пуассона со средней скоростью 24 машины в час. Время обслуживания рас­пределено экспоненциально. Клиенты делают свой заказ, а за­тем отъезжают, чтобы оплатить и получить заказанное. Каж­дый час, который клиент проводит в очереди, оценивается в 25 долл. Оплата служащим равна 6,5 долл. в час. Помимо зар­платы для обеспечения работы каждого из каналов надо тратить 20 долл. в час.

Рассматриваются следующие возможные конфигурации системы:

А. Одноканальная система с одним служащим, выполняющим заказы и принимающим оплату. Среднее время обслуживания клиента — 2 мин.

В. Одноканальная система с одним служащим, выполняющим заказ, и другим служащим, принимающим оплату. Среднее вре­мя обслуживания — 1,25 мин.

С. Двухканальная система с двумя служащими, каждый из ко­торых выполняет заказы и принимает оплату. Среднее время об­служивания — 2 мин для каждого из служащих.

Для каждой конфигурации системы определите:

Вероятность того, что в системе нет машин;

Среднее число машин в очереди;

Среднее время ожидания обслуживания;

Среднее время пребывания в системе;

Среднее число машин в системе;

Вероятность того, что вновь прибывшей машине придется ждать.

Вопрос: Какой из вариантов требует меньших затрат?

Задача 7. Механики компании «Автосервис» прибывают на главный склад за запчастями со средней скоростью 4 механика в минуту. Сейчас на складе один работник. Каждый механик в сред­нем находится на складе 4 мин. Найдите:

Среднее число клиентов в системе;

Среднее время обслуживания одного клиента в системе;

Среднее число клиентов в очереди.

Опыт использования двух работников на складе показал, что время ожидания механиком своей очереди снизилось. Определи­те для двухканальной системы:

Среднее число клиентов в системе;

Среднее время обслуживания одного клиента в системе;

Среднее число клиентов в очереди.

Механик получает 1200 руб. в час, а работник отдела запчас­тей — 720 руб. в час.

Вопрос: Какая из двух систем (одноканальная или двухканаль­ная) более экономична?

Задача 8. Автоматическая мойка машин может обслужить 10 машин в час. Машины прибывают по закону Пуассона со сред­ней скоростью 24 автомашины за 8-часовой рабочий день. Систе­ма одноканальная.

Вопросы:

1. Чему равно среднее число автомобилей в очереди?

2. Чему равно среднее время ожидания?

3. Какую часть рабочего времени система занята?

Задача 9. Компания «Жалюзи на дом» решила довести число своих машин до 8. Президент компании интересуется, стоит ли в этом случае нанимать на работу второго механика в помощь к одному имеющемуся. Средняя скорость прибытия на ремонт равна 0,05 раза в час для каждой машины, средняя скорость обслужива­ния — 0,5 машины в час. Каждый механик получает 20 долл. в час, а стоимость простоя машины составляет 80 долл. в час.

Рассчитайте следующие операционные характеристики, если компания оставляет единственного механика:

Вероятность того, что все машины работают и механик простаи­вает;

Среднее число ожидающих ремонта машин;

Среднее число машин в системе (машины в очереди и на об­служивании);

Среднее время ожидания начала ремонта;

Среднее время нахождения в системе (ожидание и ремонт).

Используя компьютерную программу, рассчитайте те же харак­теристики для случая с двумя механиками.

Вопрос: Сколько механиков следует нанять с экономической точки зрения?

Задача 10. В распоряжении магазина находится 10 грузовиков. Грузовики прибывают в магазин в случайном порядке в течение дня для погрузки-разгрузки. Каждый грузовик прибывает на об­служивание дважды за 8-часовой рабочий день. Средняя скорость обслуживания — 4 грузовика в час. Поток грузовиков описывает­ся пуассоновским распределением, время обслуживания — экспо­ненциальным. Определите:

Вероятность того, что ни один грузовик не ожидает погрузки-разгрузки;

Среднее число грузовиков в очереди;

Среднее число грузовиков у магазина (грузовики в очереди и на погрузке-разгрузке);

Среднее время ожидания в очереди.

Вопрос: Каковы часовые издержки по функционированию си­стемы, если в час издержки на кажцый грузовик рав­ны 50 долл., а на работы с грузовиками — 30 долл.?

< Предыдущая		Следующая >