14.1. Примеры

Пример 1. Обслуживание автомобилей.

Иванов, механик автосервиса, может заменить масло в сред­нем в трех автомобилях в течение часа (т. е. в среднем на одном автомобиле за 20 мин). Время обслуживания подчиняется экспо­ненциальному закону. Клиенты, нуждающиеся в этой услуге, при­езжают в среднем по два в час, в соответствии с пуассоновским распределением. Клиенты обслуживаются в порядке прибытия, и их число не ограничено. Рассчитайте основные характеристики системы обслуживания.

Решение. На основе исходных данных получаем:

L = 2 машины в час — количество машин, поступающих в те­чение часа;

M = 3 машины в час — количество машин, обслуживаемых в течение часа;

машины — среднее количество машин, находящихся в системе;

— среднее время ожидания в системе;

Машины — среднее коли­чество машин, ожидающих в очереди;

— среднее время ожи­дания в очереди;

— доля времени, в течение которого меха­ник занят;

— вероятность того, что в систе­ме нет ни одного клиента.

Вероятности того, что в системе находится более чем K машин:

Примечание. При K = 0 значение вероятности равно 1 – P0;

При K = 1 существует 44,4% шансов на то, что в системе находит­ся более одной машины, и т. д.

Пример 2. Сопоставление затрат.

После того как мы получили основные характеристики систе­мы обслуживания, часто бывает полезным провести ее экономи­ческий анализ. Как уже отмечалось, задачей менеджера является сопоставление возрастающих затрат на улучшение обслуживания и снижающихся затрат, связанных с ожиданием. Рассмотрим этот случай, дополнив условие примера 1.

Владелец автосервиса установил, что затраты, связанные с ожи­данием, выражаются в снижении спроса вследствие неудовлетво­ренности клиентов и равны 100 руб. за час ожидания в очереди. Определите общие затраты функционирования автосервиса.

Решение. Так как в среднем каждая машина ожидает в очере­ди 2/3 часа (Wq) и в день обслуживается приблизительно 16 ма­шин (l×8 = 2 машины в час в течение 8-часового рабочего дня), общее число часов, которое проводят в очереди все клиенты, равно

Следовательно, затраты, связанные с ожиданием, составляют

Другая важная составляющая затрат владельца автосервиса — зарплата механика Иванова. Предположим, что он получает 70 руб. в час, или 560 руб. в день. Следовательно, общие затраты состав­ляют

1066 + 560 = 1626 руб. вдень.

Пример 3. Утилизация отходов.

Компания «Утиль» собирает и утилизирует в Мытищах алюми­ниевые отходы и стеклянные бутылки. Водители автомобилей, доставляющих сырье для вторичной переработки, ожидают в оче­реди на разгрузку в среднем 15 мин. Время простоя водителя и автомобиля оценивается в 6 тыс. руб. в час.

Новый автоматический компактор может обслуживать контейнеровозы с постоянным темпом 12 машин в час (5 мин на одну машину). Время прибытия контейнеровозов подчиняется пуассоновскому закону с параметром l = 8 автомобилей в час. Если но­вый компактор будет использоваться, то амортизационные затра­ты составят 0,3 тыс. руб. на один контейнеровоз. Следует ли ис­пользовать компактор?

Решение. Затраты на простой одного автомобиля в очереди за одну ездку в системе без компактора составляют

В системе с компактором время ожидания в очереди при l = 8 автомобилей в час и m = 12 автомобилей в час будет равно

Затраты на простой автомобиля в очереди в этом случае составят

Сокращение времени простоя привело к сокращению затрат на простой одного автомобиля за одну ездку на сумму в 1,5 – 0,5 = 1 тыс. руб.

При условии, что затраты по эксплуатации компактора на один контейнеровоз составляют 0,3 тыс. руб., общие затраты составят 0,5 + 0,3 = 0,8 тыс. руб.

Система с компактором дает экономию в 1,5 – 0,8 = 0,7 тыс. руб. Таким образом, компактор использовать следует.

< Предыдущая		Следующая >