07. Определенный интеграл

Пусть на промежутке [A;b] задана функция F(X). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [A;b] произвольные числа , удовлетворяющие условию . Эти числа разбивают промежуток [A;B] на N более мелких промежутков [A;X1], [X1;X2],¼,[Xn-1;B]. На каждом из этих промежутков выберем произвольно по одной точке: C1Î[A;X1], c2Î[X1;X2],¼,CnÎ[Xn-1;B].

Введем обозначения

DX1=X1–A, DX2=X2–X1,¼,DXn=B–xn-1.

Составим сумму

.

Эта сумма называется Интегральной суммой функции F(X) по промежутку [A;B]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек Ci.

Каждое слагаемое интегральной суммы представляет собой площадь прямоугольника. Введем обозначение

L=Max(DXi), I=1,2,¼,N..

Величину L иногда называют Параметром разбиения. Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что величина L стремится к нулю.

Определение. Определенным интегралом от функции по промежутку [A; B] называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует

.

Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка [A;B] на элементарные промежутки и от выбора точек Ci в них.

Число A Называется Нижним пределом интегрирования, а число B ¾ Верхним пределом интегриро­вания.

Свойства определенного интеграла:

1. , где ,

2. ,

3. ,

4. если CÎ[A;B], то. .

< Предыдущая		Следующая >