Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. (А.А. Ельцов) 21. Вычисление кратных интегралов. Вычисление двойных интегралов

21. Вычисление кратных интегралов. Вычисление двойных интегралов

Рассмотрим вначале самый простой случай прямоугольной области . Предположим, что для всякого существует интеграл . Разобьём отрезки и на части точками Положим , , . Выберем на каждом из отрезков по точке . При любых и справедливо неравенство

Интегрируя это неравенство по на отрезке , имеем

Умножая последнее неравенство на и суммируя, получаем

(3.1)

Заметим, что в левой и правой частях неравенства (3.1) стоят, соответственно, нижняя и верхняя суммы Дарбу для интеграла , которые могут быть введены так же, как и для определённого интеграла. В случае, когда функция непрерывна в области , то каждая из них совпадает с одной из интегральных сумм. Так как , то, переходя в неравенстве (3.1) к пределу, имеем, в случае интегрируемости функции ,

Последнее неравенство эквивалентно соотношению

Аналогично, если существует , то

Обычно вместо пишут

Пусть теперь - криволинейная трапеция, ограниченная линиями и при этом выполнено неравенство . Заключим эту область в прямоугольник , где .

Положим

В силу построения получаем (3.2)

Далее, . Так как то (3.2) можно переписать в виде

Или, что то же самое,

(3.3)

Для криволинейной трапеции, ограниченной линиями ( для ) имеем

(3.4)

Интегралы, стоящие в правых частях формул (3.3) и (3.4), называются повторными, а результат о сведении кратного интеграла к одному из повторных носит название теоремы Фубини.

Примеры

1. Пусть область - внутренность треугольника с вершинами , , . Вычислить интеграл . Перейдём к повторному интегралу типа (3.3) и расставим пределы интегрирования в нём. Найдём уравнения прямых , , . Записывая уравнение прямой, проходящей через две точки, получаем уравнение прямой или, что то же самое, . Аналогично, для прямой : , или. Уравнение прямой имеет вид . Таким образом, область может быть задана неравенствами , . Поэтому

Для перехода к интегралу типа (3.4) требуется разбить область на две. Мы подобное проделаем в следующем примере, а читателю предлагаем в данном примере сделать это самостоятельно

2. Пусть область задана неравенствами . В двойном интеграле перейти к повторным и расставить пределы интегрирования.

Перейдем вначале к повторному интегралу типа (3.3). Тогда . Поэтому

Для перехода к интегралу типа (3.4) требуется разбить область на две: c границами и с границами . Поэтому

3. Пусть область - внутренность треугольника с вершинами , , . В двойном интеграле перейти к повторным и расставить пределы интегрирования. Найдём уравнения прямых , , . Уравнение прямой можно записать в виде или, что то же самое, в форме ; прямой в форме , или; прямой в виде , или. Как для перехода к интегралу вида (3.2), так и для перехода к интегралу вида (3.4) приходится разбивать область на две. Для интеграла вида (3.3) соответствующие области задаются неравенствами , . Таким образом

Расставить пределы интегрирования, взяв внешний интеграл по (то есть представить двойной интеграл в виде повторного интеграла вида (3.4)) предлагается самостоятельно.

4. Пусть область задана неравенствами Тогда

5. Изменить порядок интегрирования в интеграле

Исходная область представлена в виде объединения двух областей и . Таким образом, это область ограничена кривыми , и . Её также можно задать неравенствами . Поэтому

Задание 3.1

В двойном интеграле , для заданной области , перейти к повторным и расставить пределы интегрирования (приведены оба варианта ответа).

1. Область задана неравенствами а) ; б) ; в) ;

г) ; д); е)

2. Область есть внутренность треугольника с вершинами а), , ; б) , , ; в) , , ; г) , , ;

3. Область есть внутренность четырёхугольника с вершинами , , , .

4. В повторном интеграле поменять порядок интегрирования.

А);

Б) ;

В) .

Ответы:

1. а)

; б)

;

В)

; г) ;

Д) ;

Е)

2. а)

Б)

; в) ; г) .

3.

.

4. а) ; б) ; в) .

 
Яндекс.Метрика
Наверх