Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. (А.А. Ельцов) 12. Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница

12. Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница

PDF Печать E-mail

Рассмотрим функцию . Эту функцию называют: интеграл как функция верхнего предела. Отметим несколько свойств этой функции.

Теорема 2.5. Если интегрируемая на функция, то непрерывна на .

Доказательство. По свойству 9 определенного интеграла (теорема о среднем) имеем , откуда, при , получаем требуемое.

Теорема 2.6. Если непрерывная на функция, то функция дифференцируема на и .

Доказательство. По свойству 10 определенного интеграла (вторая теорема о среднем), имеем где С – некоторая точка отрезка . В силу непрерывности функции Получаем

.

Доказанная теорема решает задачу восстановления первообразной для непрерывной функции с помощью интеграла как функции верхнего предела и даёт конструктивное доказательство (то есть доказательство с построением объекта, существование которого утверждается) теоремы 1.1. Более того, если функция имеет на отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то, разбивая отрезок на участки непрерывности функции , получаем, что с помощью интеграла как функции верхнего предела можно восстановить обобщённую первообразную и в этом случае, а заодно и установить справедливость теоремы 1.2.

Таким образом, - одна из первообразных функции следовательно, Где - другая первообразная Далее, так как то следовательно, и поэтому Полагая , получаем формулу Ньютона-Лейбница

Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что для вычисления определённых интегралов мы можем применять весь набор приёмов и методов нахождения неопределённых интегралов.

Примеры

1.

Задание 2.1

Вычислить интегралы:

1.; 2.; 3.; 4.;

5.; 6. ; 7.; 8..

Ответы: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. .

 
Яндекс.Метрика
Наверх