5.3. Решение задач

Пример 1. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина X – число появлений события A в трех опытах. Построить ряд и многоугольник распределения, функцию распределения случайной величины X. Найти: 1) вероятность событий: A={X<2}; B={}; C={}; 2) математическое ожидание , дисперсию , среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Решение. Случайная величина X может принимать значения ; ; ; . Соответствующие им вероятности найдем, воспользовавшись формулой Бернулли. При n=3, ; имеем: ; ;

; .

Отсюда ряд распределения случайной величины X имеет вид:

(Контроль: ).

Многоугольник распределения случайной величины X представлен на рис.6.

Рис. 6 Рис. 7

Найдем функцию распределения F(x). По определению функции распределения имеем: если , то ;

Если , то ;

Если , то

Итак,

График функции F(x) изображен на рис. 7.

1) Сначала вычислим искомые вероятности непосредственно:

;

Эти же вероятности найдем, воспользовавшись формулами:

и . Тогда ;

;

2) Найдем математическое ожидание случайной величины X. Используя формулу (3), получим . Вычислим дисперсию. По формуле (6) имеем:

=0,72. Тогда среднее квадратическое отклонение .

Пример 2. Дан ряд распределения дискретной случайной величины X:

Найти моду.

Решение. Так как дискретная случайная величина X принимает значение с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями, то мода случайной величины X равна 20, т. е. .

Пример 3. Дана функция

Рис. 8

Показать, что может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины X.. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение. Используя свойство нормированности плотности распределения, найдем, что

Кроме того, . Следовательно, может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины. Так как прямая является осью симметрии соответствующей дуги кривой (см. рис.8), то математическое ожидание случайной величины X равно , т. е. . Найдем дисперсию, воспользовавшись формулой (8). Двукратным интегрированием по частям получим:

Пример 4. Дана плотность вероятности случайной величины X;

Найти функцию распределения F(X), вероятность попадания случайной величины X в промежуток , числовые характеристики величины X: .

Решение. Найдем функцию распределения случайной величины X, для этого воспользуется соотношением (1).

Если x < 0, то .

Если , то .

Если x > a, то .

Итак,

По формуле (*) имеем .

Найдем математическое ожидание случайной величины X. Согласно формуле (5)

Теперь отыщем дисперсию. По формуле (8)

Отсюда среднее квадратическое отклонение .

Пример 5. Найти моду, медиану, математическое ожидание и функцию распределения случайной величины X с плотностью вероятности

Решение. Найдем точку максимума функции : ; отсюда при . Точка является точкой максимума функции , так как , если и , если . Следовательно, мода .