06. Функция точки
1. Рассмотрим числовую ось, рис.2. На ней отмечено начало отчета 0, масштаб – отрезок [0,1], направление, которое показывает увеличения переменной величины Х.
Рисунок 2 – Одномерное пространство 
. Любой точке на оси отвечает одно число
и наоборот: 
, 
.
Каждому значению Х отвечает одна точка М на оси, и, наоборот, каждой точке на оси отвечает одно числовое значение переменной Х в этой точке. Это число называется координатой точки. Поэтому значение переменной величины и изображающей точки можно отождествлять и записывать 
, имея в виду 
.
Расстояние между точками М1 и М2 будем символически обозначать 
. Оно равно в нашем случае 
. Отметим его очевидные свойства, принимаемые в дальнейшем за аксиомы.
А) 
Б) 
, причем равенство нулю означает, что точки М1 и М2 совпали.
В) 
– аксиома треугольника.
Числовую прямую называют одномерным пространством 
. Каждой точке этого пространства принадлежит одно число (X–координата). Если 
, то 
.
2. Рассмотрим плоскость. На ней отметим систему координат с центром в точке 0 и двумя взаимно перпендикулярными числовыми осями Х и У. Тогда каждая точка будет отвечать паре чисел (Х,У) и, наоборот, каждой паре чисел будет отвечать одна точка. По аналогии с одномерным случаем функцию двух переменных тоже можно записать в виде функции точки 
. Плоскость, таким образом, представляет собой двумерное пространство 
. Если 
, то 
.
Расстояние между точками на плоскости находится с помощью векторной алгебры. Пусть точки заданы координатами 
, 
. Вектор 
, а его модуль 
, т. е. 
.
3. В обычном жизненном пространстве точка описывается тремя числами – координатами X, Y, Z. Это математическое трехмерное пространство 
. В этом пространстве 
. Расстояние между точками M1 и M2 снова можно определить, как модуль вектора 
:
4. Def: N-мерной точкой называется упорядоченная совокупность N чисел: 
. Совокупность таких точек образует N-мерное пространство 
. Если координаты точки обозначать индексом сверху 
, 
, то в качестве расстояния между точками по аналогии принимают:
.
Это расстояние удовлетворяет трем рассмотренным свойствам расстояния, но не может иметь геометрической аналогии.
Физики уже давно и очень активно используют четырехмерное пространство, добавляя в качестве четвертой переменной время. Химики используют многомерные (фазовые) пространства.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
