3.9. Асимптотические линии. Геодезическая кривизна. Геодезические линии

Асимптотические линии на поверхности – это линии, в каждой точке которых нормальная кривизна равна нулю.

Это возможно, если

1) кривизна (во всех точках), в этом случае линия – прямая;

2) (),

где – угол между главной нормалью кривой и нормалью к поверхности. Следовательно, главная нормаль лежит в касательной плоскости к поверхности, тогда эта касательная плоскость совпадает с соприкасающейся плоскостью асимптотической линии, а нормаль к поверхности – с ее бинормалью.

Поскольку , то и , тогда

. (3.25)

Условие существования действительных корней для этого уравнения , а это означает, что асимптотические линии существуют, образуя сеть линий, только в той области поверхности, где ее кривизна отрицательна (все точки гиперболичны). Действительно, из (3.24) следует, что , так как .

Пример. Найти асимптотические линии геликоида, уравнения которого рассматривались ранее (раздел 3.4).

Выпишем все необходимые векторы

, , ,

, , .

Вычисляя далее коэффициенты первой и второй квадратичых форм по формулам (3.6) и (3.15), получим

, , ,

,

Тогда

,

И уравнение асимптотических линий имеет вид

,

Откуда имеем семейство– винтовые линии и семейство – прямолинейные образующие.

Геодезическая кривизна линии на поверхности определяется формулой

,

Где – кривизна линии, а – угол между главной нормалью линии и нормалью к поверхности. Можно показать, что геодезическая кривизна линии на поверхности зависит только от линейного элемента поверхности и уравнения кривой относительно выбранного ортогонального репера.

Геодезические линии – это линии с нулевой геодезической кривизной. Из формул для определения геодезической кривизны следует, что геодезическими линиями могут быть либо прямые (), либо те линии, у которых , т. е. или . В обоих случаях главная нормаль с точностью до положительного направления совпадает с нормалью к поверхности.

Сформулируем теорему, которая здесь приводится без доказательства

Теорема. Через всякую точку поверхности в области ее регулярности при заданном угле наклона касательной к направлению первой оси репера проходит одна и только одна геодезическая линия.

Эта теорема аналогична теореме планиметрии: через всякую точку при заданном угле наклона к оси ОХ (заданном направлении) проходит одна и только одна прямая. Однако второе предположение планиметрии – через каждые две точки плоскости проходит одна и только одна прямая – уже не всегда удовлетворяется для геодезических линий на поверхности. В частности, противоположные точки сферы соединяются геодезическими одной длины, образующими однопараметрическое семейство.

Геодезическая линия при заданном линейном элементе поверхности реализует кратчайшее расстояние между точками А и В По сравнению с другими линиями, проходящими на поверхности через эти точки. Это важное утверждение справедливо при выполнении двух условий:

1) кривые сравнения достаточно близки к данной геодезической;

2) точка В расположена не слишком далеко от точки А.

< Предыдущая		Следующая >