2.5. Изменение координат При повороте координатных осей

Рассмотрим изменение координат вектора при повороте координатных осей на угол против часовой стрелки. Пусть:

= + , т. е. = {,} — в системе координат ;

= + , т. е. = {,} — в системе координат .

Из чертежа (см. рис. 13) видна связь между координатами вектора в системах координат и :

= , = .

В матричном виде имеем: ó .

Здесь = — матрица преобразования координат вектора , с помощью которой старые координаты {,} данного вектора выражаются через новые — {,}.

Чтобы новые координаты вектора выразить через старые, выполним следующую процедуру:

= ó = ó =.

Здесь = — матрица преобразования координат вектора , с помощью которой новые координаты выражаются через старые

=.

Пример 12. Пусть = + 2. Найти координаты этого вектора в новой системе координат, которая получается поворотом координатных осей на угол против часовой стрелки относительно начала координат.

Решение. Мы имеем: = {1,2} в системе координат ; = {,} в системе координат . Координаты , будем искать по формуле:

=.

Отсюда

.

Ответ: , ; + .

Пример 13. Предположим, что осуществляется поворот осей координат на угол против часовой стрелки относительно начала координат (см. рис. 14). Пусть и — старая и новая системы координат. Требуется выразить новые координатные орты и через орты и .

Решение. Любой вектор плоскости может быть выражен через координатные орты и . В частности, можно предположить, что:

= + ó = {,} — в системе координат ;

= + ó = {,} — в системе координат .

Поскольку ==1, имеем

= = , = = ,

= , = = ;

Т. е. в системе координат :

= {,}, = {,}.

Отсюда

ó =.

Итак, при повороте координатных осей на угол имеем: , где — матрица перехода от старых координатных ортов к новым при повороте координатных осей на угол .

Напомним, что старые координаты любого вектора выражаются через новые следующим образом:

= (см. п. 2.5); здесь = .

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!