3.6. Коррекция статистических выводов при наличии сезонности. Фиктивные переменные
· 3.6. Коррекция статистических выводов при наличии сезонности. Фиктивные переменные
Приведенный ниже график показывает динамику изменения совокупного располагаемого дохода DPI И объемов продаж SALES лыжного инвентаря в США (квартальные данные; DPI — В Млрд Долларов, SALES — в Млн Долларов, в ценах 1972 г.).
Оценивание линейной модели связи указанных переменных дает следующие результаты.
|
Dependent Variable: SALES | ||||
|
Method: Least Squares | ||||
|
Sample: 1964:1 1973:4 | ||||
|
Included observations: 40 | ||||
|
Variable |
Coefficient |
Std. Error |
T-Statistic |
Prob. |
|
C |
29.97613 |
6.463626 |
4.637665 |
0.0000 |
|
DPI |
0.108402 |
0.036799 |
2.945768 |
0.0055 |
|
R-squared |
0.185904 |
Mean dependent var |
48.94571 | |
|
Adjusted R-squared |
0.164481 |
S. D. dependent var |
3.852032 | |
|
S. E. of regression |
3.521017 |
Akaike info criterion |
5.404084 | |
|
Sum squared resid |
471.1074 |
Schwarz criterion |
5.488528 | |
|
Log likelihood |
–106.0817 |
F-statistic |
8.677546 | |
|
Durbin-Watson stat |
1.874403 |
Prob (F-statistic) |
0.005475 |
Коэффициент при переменной 
статистически значим. Однако график стандартизованных остатков (приведенный для удобства в двух формах)
Обнаруживает явную неадекватность построенной модели имеющимся наблюдениям. Однако характер этой неадекватности таков, что он не улавливается критерием Дарбина-Уотсона: значение 
статистики Дарбина-Уотсона близко к 
. И это не удивительно: за положительными остатками с равным успехом следуют как положительные, так и отрицательные остатки, что соответствует практическому отсутствию корреляции между соседними ошибками и подтверждается диаграммой рассеяния
(Здесь 
— переменная, образованная остатками от подобранной модели линейной связи, а 
— переменная, образованная запаздывающими на один квартал значениями переменной 
.)
В то же время, налицо отрицательная коррелированность остатков для наблюдений, отстоящих на два квартала, и положительная — для наблюдений, отстоящих на четыре квартала:
В отличие от критерия Дарбина-Уотсона, критерий Бройша-Годфри «замечает» такую коррелированность: допуская коррелированность ошибок для наблюдений, разделенных двумя кварталами, получаем 
, что ведет к безусловному отклонению гипотезы о независимости ошибок.
Обратим теперь внимание на весьма специфическое поведение остатков. Все остатки, соответствуюшие первому и четвертому кварталам, Положительны, а все (за исключением двух) остатки, соответствующие второму и третьему кварталам, Отрицательны. Такое положение, конечно, просто отражает тот факт, что спрос на зимний спортивный инвентарь возрастает в осенне-зимний период и снижается в весенне-летний период года, т. е. имеет Сезонный характер.
Построенная нами модель Не учитывает фактор сезонности спроса и потому оказывается неадекватной. Вследствие этого, такая модель не может, в частности, использоваться для прогнозирования объема спроса в зависимости от величины совокупного располагаемого дохода.
Для коррекции моделей связи в подобных ситуациях часто привлекают искусственно построенные переменные — «Фиктивные переменные» («dummy» variables). В нашем случае в качестве такой дополнительной переменной можно взять, например, переменную 
, значение которой равно 
для первого и четвертого кварталов и равно 
для второго и третьего кварталов. Добавление такой переменной в качестве объясняющей позволяет учесть сезонные колебания спроса. Оценивание расширенной модели дает следующие результаты.
|
Dependent Variable: SALES | ||||
|
Variable |
Coefficient |
Std. Error |
T-Statistic |
Prob. |
|
C |
26.21787 |
3.152042 |
8.317742 |
0.0000 |
|
DPI |
0.112653 |
0.017847 |
6.312227 |
0.0000 |
|
DUMMY |
6.028524 |
0.539997 |
11.16399 |
0.0000 |
|
R-squared |
0.813644 |
Mean dependent var |
48.94571 | |
|
Adjusted R-squared |
0.803571 |
S. D. dependent var |
3.852032 | |
|
S. E. of regression |
1.707233 |
Akaike info criterion |
3.979663 | |
|
Sum squared resid |
107.8419 |
Schwarz criterion |
4.106329 | |
|
Log likelihood |
-76.59327 |
F-statistic |
80.77244 | |
|
Durbin-Watson stat |
1.452616 |
Prob (F-statistic) |
0.000000 | |
Оцененное значение 
коэффициента при переменной 
фактически означает, что спрос на лыжный инвентарь в течение первого и четвертого кварталов возрастает по сравнению со спросом в течение второго и четвертого кварталов в среднем примерно на 
Млн Долларов (в ценах 1972 г.). Следующий график иллюстрирует качество подобранной расширенной модели.
На сей раз значение
для статистики критерия Бройша-Годфри равно 
против прежнего значения 
, так что этот критерий теперь Не отвергает гипотезу независимости случайных ошибок 
.
По-существу, мы подобрали две различные модели линейной связи между 
и 
:
Модель
Для весенне-летнего периода;
Модель
Для осенне-зимнего периода.
При этом, предельная склонность к закупке лыжного инвентаря в обеих моделях остается одинаковой и оценивается величиной 
.
Замечание. Вместо подбора отдельных моделей для осенне-зимнего и весенне-летнего периодов можно было бы заняться подбором отдельных моделей для каждого из четырех кварталов года. С этой целью в качестве дополнительных объясняющих переменных можно взять, например, переменные 
, принимающие значение 
, соответственно, в четвертом, первом и втором кварталах, и равные нулю в остальных кварталах. При оценивании такой расширенной модели для наших данных оказывается незначимым коэффициент при 
, что означает близость в среднем уровней продаж во втором и в третьем кварталах. Более того, оказываются близкими оценки коэффициентов при переменных 
и 
. Гипотеза о совпадении двух последних коэффициентов не отвергается, и в итоге мы возвращаемся к модели с одной фиктивной переменной , которую мы уже оценили ранее.
Использование фиктивных переменных полезно при анализе Агрегированных (объединенных) данных, полученных при объединении наблюдений, относящихся к различным полам (мужчины и женщины), к различным возрастным, языковым и социальным группам, к различным периодам времени. В таких ситуациях модели, построенные по отдельным группам, могут существенно различаться, и тогда модель, построенная по объединенным данным, не учитывает этого различия. Привлечение фиктивных переменных позволяет оценить значимость такого различия и по результатам этой оценки остановиться на модели с агрегированными данными или на модели, в которой учитывается различие параметров связи для различных групп (периодов времени).
В качестве примера, попробуем построить модель связи между переменными 
и 
, которые в 15 наблюдениях имели следующие значения:
|
X |
Z |
X |
Z |
X |
Z |
|
1 |
1.257 |
6 |
0.865 |
11 |
1.804 |
|
2 |
1.812 |
7 |
1.930 |
12 |
1.956 |
|
3 |
3.641 |
8 |
2.944 |
13 |
3.134 |
|
4 |
4.401 |
9 |
4.316 |
14 |
4.649 |
|
5 |
5.561 |
10 |
5.323 |
15 |
4.559 |
Этим данным соответствует приведенная ниже диаграмма рассеяния;
Прямая на диаграмме соответствует подобранной модели связи
;
- статистика для коэффициента при 
принимает значение 
, что дает 
и ведет к неотвержению гипотезы о равенстве этого коэффициента нулю. Регрессия переменной 
на переменную Признается незначимой.
График указывает на наличие Трех режимов линейной связи между переменными 
И , соответствующим 5 первым, 5 центральным и 5 последним наблюдениям. Коэффициент при кажется одинаковым для всех трех режимов, тогда как постоянные различаются.
В то же время, график остатков от подобранной модели связи явно указывает на неправильную спецификацию модели:
Чтобы учесть обнаруженное по графику остатков наличие трех режимов, привлечем в качестве дополнительных объясняющих переменных две фиктивные переменные: переменную 
, равную 
в Пяти Центральных наблюдениях и равную 
в остальных наблюдениях, а также переменную 
, равную в Пяти последних наблюдениях и равную в остальных наблюдениях. Оценивание расширенной модели с участием этих дополнительных объясняющих переменных дает следующий результат:
|
Variable |
Coefficient |
Std. Error |
T-Statistic |
Prob. |
|
C |
0.264368 |
0.274073 |
0.964591 |
0.3555 |
|
X |
1.023398 |
0.070765 |
14.46185 |
0.0000 |
|
D2 |
-5.375960 |
0.430449 |
-12.48920 |
0.0000 |
|
D3 |
-10.34806 |
0.748910 |
-13.81749 |
0.0000 |
|
R-squared |
0.950286 |
Mean dependent var |
3.210213 | |
|
Durbin-Watson stat |
2.205754 |
Prob (F-statistic) |
0.000000 | |
На этот раз регрессия оказывается не только Статистически значимой, но и имеет очень высокую значимость; то же относится и к коэффициентам при переменных
, и . Высокая значимость двух последних коэффициентов подтверждает Значимое отличие констант в моделях линейной связи между переменными И 
.
В заключение обратимся опять к примеру, рассмотренному в параграфе 3.3. Мы обнаружили там, что модель линейной связи
Оказалась неудовлетворительной, поскольку анализ остатков от оцененной модели выявил гетероскедастичность и автокоррелированность ошибок и отличие распределения ошибок от нормального. Приведенные там график зависимости стандартизованных остатков 
от номера наблюдений и его вариант в виде зависимости от года наблюдения указывают на явную разницу в поведении остатков в первой части периода наблюдений (до 1972 года) и во второй его части (1973-1985 годы). Такое различие в поведении остатков свидетельствует о том, что в 1973 году произошел структурный сдвиг в экономической ситуации, связанный с мировым топливо-энергетическим кризисом, который изменил характер связи между рассматриваемыми макроэкономическими факторами. Последнее могло, например, выразиться в изменении значений параметров 
при переходе ко второй части периода наблюдений. Возможность такого изменения учитывает расширенная модель
Здесь
- фиктивная переменная, равная для 
(что соответствует периоду с 1959 по 1972 год) и равная 
для 
(что соответствует периоду с 1973 по 1985 год),
- фиктивная переменная, равная для и равная для 
,
- переменная, равная
для и равная для ,
- переменная, равная для и равная 
для ,
- переменная, равная 
для 
и равная для ,
- переменная, равная для и равная 
для .
Заметим, что при этом
В рамках расширенной модели проверим гипотезу
Используя 
-критерий. Значению -статистики 
соответствует 
-значение 
, так что гипотеза 
отвергается, и это говорит об изменении хотя бы одного из параметров 
при переходе ко второй части периода наблюдений. Поскольку оценки параметров 
и 
статистически незначимы (им соответствуют -значения 
и 
), проверим гипотезу о равенстве нулю обоих этих параметров. Получаемое -значение 
означает, что последняя гипотеза не отвергается, так что допуская изменение параметров модели при переходе ко второй части периода наблюдений, можно вообще отказаться от включения в модель переменной 
и ограничиться моделью
Оценивание этой модели дает следующие результаты: 
,
Гипотеза 
здесь отвергается 
, как и гипотеза 
, так что структурный сдвиг затрагивает и постоянную и коэффициент при 
.
Значение статистики Дарбина-Уотсона равно 
и не выявляет автокоррелированности ошибок. К тому же результату приводит и применение критерия Бройша-Годфри с 
. Критерий Уайта дает
, не выявляя гетероскедастичности, а критерий Жарка-Бера дает 
, не выявляя существенных отклонений распределения ошибок от нормального.
Вспомним, однако, про критерий Голдфелда-Квандта. Опять выделяя периоды с 1960 по 1969 год и с 1976 по 1985 год, получаем значение -статистики 
, соответствующее 
, так что на сей раз и этот критерий не обнаруживает существенной гетероскедастичности.
Тем самым, мы имеем основания принять в качестве возможной модели наблюдений, объясняющей изменения объема совокупного потребления на периоде с 1959 по 1985 год, оцененную модель
Эту модель можно также записать в виде
Соответственно последней форме записи такая модель называется Двухфазной линейной регрессией (Или Линейной моделью с переключением). Заметим, наконец, что допустив возможность изменения постоянной и коэффициента при 
при переходе ко второй части периода наблюдений, мы можем допустить при этом и изменение дисперсии ошибок, т. е. полагать, что 
для и 
для . Оценки для 
и 
в этом случае равны, соответственно, 
и 
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
