Глава 17. Векторные пространства

Пусть = (F; +, *) — Некоторое поле с операцией сложения +, операцией умно­жения *, Аддитивной Единицей 0 и Мультипликативной Единицей 1. Пусть V = (V; +) — некоторая абелева группа с операцией + и единицей 0. Если существу­ет операция F ´ V ® V (знак этой операции опускается), такая что для любых A, B Î F И для любых Х, у Î V Выполняются соотношения:

1. (А + B)Х = АХ + BХ,

2. А(Х + у) = аХ + аУ,

3. (А * B)Х = а(BХ),

4. 1Х = Х,

То V называется Векторным пространством Над полем , Элементы F Называ­ются Скалярами, Элементы V Называются Векторами, А необозначенная операция F ´ V ® V Называется Умножением вектора на скаляр.

Пример

Пусть = (F; +, *) — Некоторое поле. Рассмотрим множество кортежей Fn. Тогда N = (Fn; +), где (А1, ... ,аN) + (B1, … , BN) = (A1 +B1 , ... , аN + BN), явля­ется абелевой группой, если -(A1, ... ,аN) := (-а1, ... , - аN) и 0 = (0, ... ,0). Положим A(А1, ... ,аn) = (A*а1, ... , A*аN). Тогда N является векторным про­странством над для любого (конечного) П. В частности, RN является век­торным пространством для любого N.

< Предыдущая		Следующая >