Глава 16. Алгебры с двумя операциями

В этом разделе рассматриваются алгебры с двумя бинарными операциями:

Å, Ä : M ´ M ® M,

Которые условно называют «сложением» и «умножением», соответственно.

Кольца

Кольцо — Это множество М С двумя бинарными операциями Å и Ä, в котором:

1. (А Å B) Å с = а Å (b Å с) сложение ассоциативно;

2. $ 0Î М "А а Å 0 = 0 Å А = а Существует нуль;

3. "А$ - а а Å - а = 0 существует обратный элемент;

4. А Å B = B Å а сложение коммутативно,

То есть кольцо — абелева группа по сложению;

5. А Ä (B Ä С) = (А Ä B) Ä с Умножение ассоциативно,

То есть кольцо — полугруппа по умножению;

6. А Ä (B Å с) = (А Ä b) Å (А Ä с) умножение дистрибутивно

(А Å B) Ä с = (А Ä с) Å (B Ä с) слева и справа.

Кольцо называется Коммутативным, Если

7. А Ä B = B Ä а умножение коммутативно.

Коммутативное кольцо называется кольцом С единицей, Если

8. $ 1 Î M A Ä 1 = 1 Ä A = A существует единица;

То есть кольцо с единицей — моноид по умножению.

Пример

(Z; +, *) — коммутативное кольцо с единицей. Для любого натурального N (Zn; +, *) — коммутативное кольцо с единицей.

Поля

Поле — Это множество М С двумя бинарными операциями Å и Ä, такими что:

1. (А Å B) Å С = а Å (B Å С) сложение ассоциативно;

2. $ 0 Î M A Å 0 = 0 Å A = а Существует нуль;

3. "A $ -A A Å -A = 0 существует обратный элемент по сложению;

4. A Å B = B Å A сложение коммутативно, то есть поле — абелева группа по сложению;

5. A Ä (B Ä с) = (A Ä B) Ä с умножение ассоциативно;

6. $ 1 Î М а Ä 1 = 1 Ä А = а существует единица;

7. "A ¹ 0 $ а -1 А -1 Ä а = 1 существует обратный элемент по умножению;

8. А Ä B = B Ä А Умножение коммутативно, то есть поле — абелева группа по умножению;

9. А Ä (B Å с) = (А Ä B) Å (АÄ с) умножение дистрибутивно относительно сложения.

Пример

1. (R; +, *) — поле вещественных чисел.

2. (Q; +, *) — поле рациональных чисел.

< Предыдущая		Следующая >