Глава 15. Алгебры с одной операцией

Полугруппы

Полугруппа — это алгебра с одной ассоциативной бинарной операцией:

А (B с) = (A B) С.

Пример

1. Множество слов А+ В алфавите А Образует полугруппу относительно опера­ции Конкатенации.

2. Всякое множество функций, замкнутое относительно суперпозиции, является полугруппой.

Если в полугруппе существует система образующих, состоящая из одного эле­мента, то такая полугруппа называется Циклической.

Пример

(N; +} является циклической полугруппой.

Моноиды

Моноид — Это полугруппа с Единицей:

Пример

Множество слов А* В алфавите А Вместе с пустым словом Lобразует моноид.

Группы

Группа — Это моноид, в котором

"A $ А -1 А A -1 = А-1 A = Е.

Элемент А -1 называется Обратным.

Пример

1. Множество невырожденных квадратных матриц порядка N образует группу относительно операции умножения матриц. Единицей группы является еди­ничная матрица. Обратным элементом является обратная матрица.

2. Множество подстановок на множестве М, То есть множество взаимно одно­значных функций F : М ® М Является группой относительно операции су­перпозиции. Единицей группы является тождественная функция, а обратным элементом — обратная функция.

Коммутативная Группа, то есть группа, в которой

А B = B A,

Называется Абелевой. В абелевых группах приняты следующие обозначения: групповая операция обозначается + или Å, обратный элемент к А Обозначает­ся -а, единица группы обозначается 0 и называется Нулем.

Пример

(Z; +) — множество целых чисел образует абелеву группу относительно сло­жения. Нулем группы является число 0. Обратным элементом является число с противоположным знаком: Х -1:= -х.

< Предыдущая		Следующая >