7.1. Уравнения с правой частью специального вида

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

, (7.1)

Где , , …, , – вещественные числа.

Уравнение (7.1) можно проинтегрировать рассмотренным ранее методом вариации произвольных постоянных, который сводится к составлению и решению системы линейных уравнений относительно функций, а также к интегрированию этих функций. Таких трудоемких операций можно избежать в некоторых случаях благодаря особому виду уравнения (7.1).

Поскольку общее решение соответствующего однородного уравнения (5.1) мы уже умеем находить, то получение общего решения уравнения (7.1) в силу теоремы подраздела 6.2 сводится к нахождению какого-нибудь частного его решения. Оказывается, что эта задача решается весьма просто при некоторых специальных видах функции в правой части уравнения (7.1). Далее рассматриваются следующие случаи.

1. Уравнения с правой частью в виде полинома.

В этом случае правая часть уравнения (7.1) представима в виде

,

Где – многочлен степени с известными коэффициентами.

2. Правая часть в виде произведения полинома и экспоненты.

В данном случае правая часть уравнения (7.1) имеет вид

,

Где – многочлен степени с известными коэффициентами, – некоторое число.

3. Правая часть в виде произведения полинома, экспоненты и гармонической функции.

В этом случае правая часть уравнения (7.1) имеет один из видов:

, ,

,

Где – многочлен степени с известными коэффициентами, и – многочлены известных степеней с известными коэффициентами, и – некоторые числа.

Для всех этих случаев на основании значений корней характеристического многочлена уравнения (7.1) и вида его правой части можно записать частное решение с точностью до коэффициентов входящих в него многочленов. Значения этих коэффициентов находятся путем составления и решения системы линейных алгебраических уравнений. Такой метод нахождения частного решения уравнения (7.1) называется Методом неопределенных коэффициентов.

< Предыдущая		Следующая >