Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Дифференциальные уравнения. Системы дифференциальных уравнений 12. Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей

12. Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей

Таблица 1.

N

Правая часть дифф. уравнения

Корни

Характеристиче­ского уравнения

Виды частного

Решения

I.

1. Число не явля­ется корнем ха­рактеристиче­ского уравнения

2. Число – корень характеристиче­ского уравнения кратности

II.

1. Число не яв­ляется корнем характеристиче­ского уравнения

2. Число явля­ется корнем ха­рактеристиче­ского уравнения кратности

III.

1. Числа не являются кор­нями характери­стического урав­нения кратности

2. Числа яв­ляются корнями характеристиче­ского уравнения кратности

IV.

1. Числа не являются кор­нями характери­стического урав­нения кратности

2. Числа являются кор­нями характери­стического урав­нения кратности

Пример. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Общее решение данного уравнения складывается из общего решения соответствующего ему однородного уравнения и частного решения данного уравнения, т. е. .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.

Поэтому общее решение однородного уравнения будет

2.Найдем частное решение данного уравнения. Так как в правой части его дан квадратный многочлен , и ноль не является корнем характеристиче­ского уравнения, то частное решение надо искать в виде (см. табл.1, случай I)

Где - неизвестные коэффициенты, которые нужно определить.

Так как выражение для является решением данного уравнения, то функ­ция и ее производные будучи подставлены в это уравнение удовле­творяют тождеству, т. е. сохраняют знак равенства в данном уравнении.

Найдем производные

Подставим эти выражения в данное уравнение и сгруппируем члены равенства по степеням :

.

Так как многочлены равны, то, следовательно, равны соответственные коэффи­циенты при одинаковых степенях , поэтому

Следовательно, частное решение будет иметь вид , а общее реше­ние данного уравнения будет

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Общее решение данного уравнения есть сумма общего решения соот­ветствующего однородного уравнения и частного решения :

1. Определим . Запишем соответственное уравнение . Через характеристическое уравнение находим его общее решение.

Поэтому

2.Определим частное решение .

Представим правую часть данного уравнения в виде (*):

Где - одночлен нулевой степени (вещественное число), а - одночлен первой степени (см. табл.1, случай III(1)). Так как не является корнем характеристичского уравнения, а То частное решение данного уравнения ищем в виде

Тогда

.

Так как является решением данного уравнения, то будучи подставленной в это уравнение вместе со своими производными она удовлетворяет равенству.

Подставим 1 в данное уравнение и сгруппируем по и , будем иметь

Или

Приравниваем коэффициенты в силу равенства выражений при и . Коэффициент при в правой части равен нулю, а при равен , по­этому будем иметь

Так как многочлены равны, то, следовательно, равны их коэффициенты при одинаковых степенях . Приравнивая коэффициенты левых и правых частей равенств, получим систему относительно :

.

Частное решение запишется

Общее решение данного уравнения

Рассмотрим случай, когда неоднородное уравнение имеет вид

. (6)

Для отыскания частного решения такого уравнения используется теорема:

Если - частное решение уравнения , а - частное решение уравнения , то есть частное решение уравнения (6).

Пример. Проинтегрировать уравнение

Решение. Общее решение данного уравнения

,

Где - общее решение соответственного данному однородного уравнения, - частное решение данного уравнения, где - частное решение урав­нения А - частное решение уравнения

1. Определим общее решение для уравнения

Общим решением уравнения будет

2. Определим частное решение уравнения .

Представим правую часть в виде (*)

.

Частное решение ищем в виде (см. табл.1, случай III (2)), так как число является корнем характеристического уравнения кратности :

,

Где и- некоторые вещественные числа и , которые нужно определить.

Итак, частное решение запишется выражением

Тогда

Из тождества которое получится после подстановки И в уравнение , определим и :

Приравниваем коэффициенты при И левой и правой части.

3. Определим частное решение Уравнения

В правой части имеем выражение вида , где . Частное реше­ние Уравнения ищем в виде (см. табл.1, случай II(1)):

,

вычислим производные

Из тождества, полученного после подстановки и В уравнение , определим коэффициенты :

Сократим на

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей равенства.

, решая систему, получим .

Получили

Следовательно, общее решение данного уравнения

 
Яндекс.Метрика
Наверх