Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Дифференциальные уравнения. Системы дифференциальных уравнений 10. Некоторые виды дифференциальных уравнений высших порядков

10. Некоторые виды дифференциальных уравнений высших порядков

I. Уравнения, содержащие только производную N-го порядка искомой функции и независимую переменную

или .

Этот вид уравнения допускает понижение порядка n-кратным интегрирова­нием, в результате этого получаем общее решение дифференциального уравнения.

Пример. Для данного дифференциального уравнения

Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. Воспользуемся последовательным интегрированием.

.

Подставив последовательно в полученные равенства начальные условия, оп­ределим :

Частным решением данного уравнения будет

.

II. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до по­рядка (K-1) включительно:

. (1)

Порядок такого уравнения можно понизить на единиц заменой: , тогда уравнение (1) примет вид:

. (2)

Из уравнения (2), если это возможно, определяем , а за­тем находим Из уравнения

- кратным интегрированием.

В частном случае, когда , дифференциальное уравнение второго по­рядка , не содержит неизвестной функции , подстановкой приво­дится к уравнению первого порядка .

Пример. Проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка

. (1)

Решение. Это уравнение не содержит . Положим в уравнении , тогда , получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка отно­сительно неизвестной функции :

.

Воспользуемся подстановкой , тогда , получим

. (2)

Определяем , для этого положим . Получили уравнение с разде­ляющимися переменными.

Разделяем переменные и интегрируем

(полагаем ), тогда .

Определяем , для этого значение Подставим в уравнение (2):

или

,

Откуда , и т. к. , то следовательно, .

Возвращаясь к первоначальной переменной , получим

или

.

Это и будет общим решением данного уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Уравнение не содержит искомую функцию и ее производные до третьего порядка включительно. Поэтому, полагая , получим . Подставим в данное уравнение значения и получим уравнение относи­тельно функции :

или .

Разделяем переменные и интегрируем

Тогда .

Последовательно интегрируя, найдем

,

.

Это выражение для и будет общим решением данного уравнения.

III. Уравнение не содержит независимого переменного X:

(1)

Подстановка позволяет понизить порядок уравнения на единицу. При этом рассматривается как новая неизвестная функция от : . Все про­изводные выражаются через производные от новой неизвест­ной функции . Для этой функции имеем

И т. д.

Подставив эти выражения вместо в уравнение (1), получим диффе­ренциальное уравнение порядка.

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Так как данное уравнение не содержит независимой переменной , то полагая в этом уравнении , а , получим уравнение первого по­рядка:

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим следующее

Так как , то .

Получим снова уравнение первого порядка, где неизвестной функцией является . Разделяя переменные и интегрируя, получим

.

Полученное выражение для есть решение данного уравнения.

Пример. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Так как данное уравнение не содержит независимой переменной, то полагаем . Подставляя выражения для и в данное уравне­ние, получим дифференциальное уравнение первого порядка с разде­ляющимися переменными

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим

1

.

Так как или .

Разделяя переменные и интегрируя, получим

.

Решением уравнения является .

 
Яндекс.Метрика
Наверх