Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Дифференциальные уравнения. Системы дифференциальных уравнений 06. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)

06. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)

Рассмотрим однородное уравнение

(или ).

Получили уравнение с разделяющимися переменными и поэтому, разделив пе­ременные и вычислив интегралы от обеих частей равенства:

Получим общее решение вида .

Решение данного уравнения ( ) ищем в виде

. (2)

Отсюда

, (3)

Где - произвольная постоянная. Подставляя из (3) в (2), находим общее решение (1):

.

Пример 1. Решить уравнение

(1)

Решение. Рассмотрим однородное уравнение

, (2)

Имеем уравнение с разделяющимися переменными

.

Разделим переменные

И проинтегрируем обе части равенства

- общее решение (2).

Решение исходного уравнения (1) находим в виде

. (3)

Подставив это выражение и его производную в (1), получим:

Таким образом

. (4)

Подставим (4) в (3), получим общее решение данного уравнения (1):

.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Интегрируем соответствующее однородное уравнение

.

Разделим переменные

.

Интегрируя обе части, находим общее решение однородного уравнения:

.

Варьируем постоянную и решение исходного уравнения ищем в виде

.

Подставляя в исходное уравнение, получим:

Или

.

Таким образом общее решение исходного уравнения имеет вид

.

 
Яндекс.Метрика
Наверх