02. Геометрическое истолкование дифференциального урав­нения

Пусть является решением дифференциального уравнения .

График функции называется Интегральной кривой уравне­ния . Само дифференциальное уравнение ус­танавливает за­висимость между координатами точки и угло­вым коэффициентом каса­тельной К интегральной кривой в той или иной точке.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1), разрешенное относи­тельно производной, где задана в некоторой области на плоско­сти . В каждой точке области уравне­ние (1) указывает на­правление касатель­ной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Тем самым геометри­чески уравнение (1) равносильно заданию в области поля направлений, а ин­тегрирование этого уравнения равносильно проведению таких линий, которые в каждой своей точке касаются направления поля, заданного в этой точке (см. рис.1).

Такое геометрическое истолкование дифференциального уравнения по­зволяет проинтегрировать его графи­чески, т. е. представить на чертеже приближенно общую картину хода интегральных кривых. Для этого нужно покрыть область более или менее густой сеткой точек, и в каждой выбранной точке начертить не­большую стрелку, наклоненную под углом к оси , где . Затем провести ряд интегральных кривых по направле­ниям, указанным стрелками. Обычно при этом пользуются методом изоклин.

Изоклиной называется линия, вдоль которой направление поля, определяе­мого дифференциальным уравнением (1), одно и то же. Уравнение изоклины получается из уравнения (1), если положить , т. е.

. (3)

Придавая в (3) параметру ряд значений строят несколько изоклин и на каждой из них наносят ряд стрелок (штрихов),

Наклоненных к оси под углом , для которого . По направлениям этих стрелок проводят интегральные кривые.

< Предыдущая		Следующая >