Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Дифференциальные уравнения первого порядка 4.1. Простейшие уравнения, не разрешенные относительно производной

4.1. Простейшие уравнения, не разрешенные относительно производной

До сих пор предполагалось, что дифференциальное уравнение первого порядка

(4.1)

Разрешимо относительно , то есть приводимо к виду (1.5). Однако это возможно далеко не всегда. Для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных, можно сформулировать и доказать теорему о существовании и единственности решения при соответствующем начальном условии, а также рассмотреть основные методы интегрирования. Мы ограничимся рассмотрением простейших типов таких уравнений.

1. Уравнение не содержит аргумента и функции.

В этом случае дифференциальное уравнение (4.1) не содержит ни , ни , то есть имеет вид

. (4.2)

Это алгебраическое уравнение относительно производной . Пусть существует по крайней мере один действительный корень данного уравнения, где – постоянная величина. Интегрируя уравнение , получим:

, .

Но является корнем уравнения (4.2). Следовательно, общий интеграл этого уравнения

.

Пример 4.1. Уравнение

Имеет вещественный корень . Поэтому общий интеграл этого уравнения

.

2. Уравнение не содержит аргумента.

Пусть дифференциальное уравнение (4.1) не содержит аргумента и разрешимо относительно функции , то есть имеет вид

.

В этом случае вводится обозначение параметра . Тогда для получим параметрическое уравнение

, (4.3)

Откуда . Поскольку , то

, .

Интегрируя последнее равенство, имеем

.

Вычисляя этот неопределённый интеграл, представим переменную в параметрическом виде

,

Где – произвольная постоянная. Объединяя это равенство с равенством (4.3), получим общее решение дифференциальное уравнения в параметрическом виде:

В некоторых случаях параметр можно исключить из этой системы.

Пример 4.2. Решить уравнение

.

Решение. Полагаем . Тогда

, .

Имеем

.

Итак, общее решение

3. Уравнение не содержит функции.

Дифференциальное уравнение (4.1) не содержит функции и разрешимо относительно аргумента , то есть имеет вид

.

Введем параметр и получим параметрическое представление переменной

,

Откуда . Поскольку , то

, .

Интегрируя последнее равенство, имеем

.

Вычисляя неопределённый интеграл, получим

,

Где – произвольная постоянная. Итак, получено общее решение дифференциальное уравнения в параметрическом виде:

Параметр в ряде случаев можно исключить из этой системы.

Пример 4.3. Решить уравнение

.

Решение. Полагаем . Тогда

.

Имеем:

,

.

Получено общее решение

 
Яндекс.Метрика
Наверх