3.6. Метод последовательных приближений

Условия существования и единственности решения задачи Коши приводятся в теореме Коши, но даже при выполнении этих условий большинство дифференциальных уравнений не допускают нахождения точного решения. В этом случае применяются приближенные методы интегрирования. Выведем формулу одного из таких методов – метода последовательных приближений.

Рассмотрим задачу Коши, которая заключается в решении дифференциального уравнения (3.1) с заданным начальным условием (3.2):

, . (3.7)

Предположим, что – решение задачи Коши (3.7). Тогда

Интегрируя это тождество, получим

Отсюда следует, что

Учитывая начальное условие задачи Коши (3.7), получим для нее интегральное уравнение

. (3.8)

Итак, если есть решение задачи Коши (3.7), то оно удовлетворяет и интегральному уравнению (3.8).

Обратно, если функция есть решение интегрального уравнения (3.8), то, во-первых, , а во-вторых, по теореме Барроу . Следовательно, всякое решение интегрального уравнения (3.8) является и решением задачи Коши (3.7).

Таким образом, интегральное уравнение (3.8) эквивалентно задаче Коши (3.7). Поэтому мы можем использовать интегральное уравнение (3.8) для решения задачи Коши.

В уравнении (3.8) справа под знаком интеграла находится неизвестная функция . Положим в качестве начального приближения решения и определим функцию

Положим в правой части интегрального уравнения (3.8) и определим

Итак, приближения решения задачи Коши находятся по рекуррентной формуле

, (3.9)

Теорема Пикара. Если в задаче Коши функция непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменной , то существует единственное решение задачи Коши, к которому равномерно сходятся при приближения, определяемые формулой (3.9).

Теорема Пикара утверждает, что при выполнении условий этой теоремы последовательность функций , , , …, найденных по формуле (3.9), равномерно сходится к решению задачи Коши , то есть

Действительно, выполняя в формуле (3.9) предельный переход при , получим интегральное уравнение

Это интегральное уравнение совпадает с уравнением (3.8), поэтому есть решение задачи Коши.

Метод последовательных приближений, основанный на формуле (3.9), также называется методом Пикара.

Пример 3.10. Решить задачу Коши

, .

Решение. Сводим задачу к интегральному уравнению

Задавая , последовательно находим:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

При получим справа степенной ряд для функции . Следовательно,

Поэтому . Это же решение исходной задачи Коши можно получить как решение уравнения с разделяющимися переменными.

< Предыдущая		Следующая >