3.2. Понятие о продолжении решения

Теорема Коши имеет локальный характер, поскольку в ней существование и единственность решения задачи Коши доказаны лишь для некоторого интервала , который может быть очень малым. Покажем, как полученное с помощью теоремы Коши решение можно продолжить за пределы интервала .

Обозначим , . Если точка лежит на границе области , то продолжение решения может быть невозможно. Если же это внутренняя точка области , то в ней также выполнены условия теоремы Коши. Поэтому существует такой интервал , в котором уравнение (3.1) имеет некоторое решение , удовлетворяющее начальному условию

.

Рассмотрим интервал . Если бы в нем было , то в какой-то точке этого интервала нарушалась бы единственность решения, что в силу теоремы Коши исключено. Поэтому всюду в будет , и функцию в интервале можно рассматривать как продолжение функции на этот интервал.

Совершенно аналогично, положив , продолжим решение на интервал и так далее, пока линия не достигнет границы .

Точно таким же способом можно продолжить решение и влево от интервала .

В частности, если при и правая часть уравнения (3.1) непрерывна и удовлетворяет неравенству

,

Где функции и непрерывны, то всякое решение можно продолжить на весь интервал .

< Предыдущая		Следующая >