Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

2.7. Интегрирующий множитель

Предположим, что для уравнения (2.16) условие (2.17) не выполняется. Тогда оно не является уравнением в полных дифференциалах. Возникает вопрос, можно ли умножить обе части уравнения (2.16) на такую функцию , что новое уравнение

Уже будет уравнением в полных дифференциалах. Если такая функция существует, то она называется Интегрирующим множителем.

Предположим, что – интегрирующий множитель. Тогда

,

Откуда

. (2.18)

Для нахождения получено уравнение в частных производных, которое интегрируется значительно сложнее, чем исходное уравнение. Поэтому найти интегрирующий множитель в общем случае удаётся очень редко. Задача намного упрощается, если этот множитель зависит только от одной переменной или .

Пусть сначала . Тогда из равенства (2.18)

.

Отсюда

, .

Поскольку левая часть последнего уравнения зависит только от , то и правая часть не содержит . Положим для краткости

.

Получим:

, .

Отсюда

.

Итак, одним из интегрирующих множителей является функция

. (2.19)

Проведенные рассуждения верны только в том случае, если интегрирующий множитель, зависящий только от , существует. Покажем, как об этом можно узнать заранее. Составим выражение

И предположим, что оно зависит только от . Обозначим его через и вычислим по формуле (2.19). Докажем, что это для исходного уравнения есть интегрирующий множитель.

Возьмем уравнение

. (2.20)

Имеем:

,

.

Итак, если вычислено по формуле (2.19), то уравнение (2.20) является уравнением в полных дифференциалах, а значит – интегрирующий множитель. Таким образом, зависимость выражения

Только от есть необходимое и достаточное условие того, что уравнение (2.16) имеет интегрирующий множитель .

Аналогично уравнение (2.16) имеет интегрирующий множитель тогда и только тогда, когда

,

То есть когда левая часть не содержит . В этом случае

.

Пример 2.6. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Имеем:

.

А значит, интегрирующий множитель существует и равен

.

Умножая исходное уравнение на , получим

.

Это уравнение в полных дифференциалах и оно интегрируется обычным образом.

 
Яндекс.Метрика
Наверх