Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

2.1. Однородные дифференциальные уравнения

Если общее решение дифференциального уравнения представлено в виде квадратур (интегралов) от элементарных функций и функций, входящих в состав дифференциального уравнения, то говорят, что Уравнение проинтегрировано в квадратурах.

Функция называется Однородной функцией степени Относительно переменных и в смысле Эйлера, если при любом допустимом справедливо тождество

.

Если , то функция называется Однородной функцией нулевой степени. Для функции имеем

,

Так что это однородная функция нулевой степени.

Дифференциальное уравнение вида называется Однородным Дифференциальным уравнением, если есть однородная функция нулевой степени относительно и .

В этом случае можно положить . Тогда в силу однородности функции и , то есть однородное дифференциальное уравнение примет вид

. (2.1)

Сделаем замену переменной , откуда . Тогда и для уравнения (2.1) имеем

. (2.2)

Преобразуем это уравнение с разделяющимися переменными:

, , .

Получено дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Интегрируя последнее равенство, имеем

Пусть – первообразная подынтегральной функции левой части. Тогда – интеграл дифференциального уравнения (2.2). Следовательно, решение исходного однородного дифференциального уравнения (2.1)

.

Таким образом, замена переменной всегда приводит однородное дифференциальное уравнение (2.1) к уравнению с разделяющимися переменными (2.1).

Пример 2.1. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Перепишем это уравнение в виде

.

Полагая в нем , учитывая, что и , получим:

, , .

Интегрируя последнее уравнение, имеем:

, , .

Окончательно

.

 
Яндекс.Метрика
Наверх