Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Дифференциальные уравнения первого порядка 1.1. Предмет теории дифференциальных уравнений

1.1. Предмет теории дифференциальных уравнений

Часто законы, связывающие изучаемые величины, исследователю неизвестны, но он может установить зависимость между этими величинами и их производными. Например, в инженерной практике возникает задача определения закона движения тела под влиянием действующих на тело сил. Найти такой закон движения непосредственно было бы нелегко. В этом случае применяют основной закон динамики в виде второго закона Ньютона : «сила равна произведению массы на ускорение ». Этот закон в дифференциальной форме позволяет установить зависимость, содержащую ускорение как вторую производную пути по времени :

. (1.1)

Закон движения будет найден, если научиться определять неизвестную функцию пути из дифференциального уравнения (1.1). Основная задача теории дифференциальных уравнений и заключается в изучении методов нахождения неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями. Предметом изучения в теории дифференциальных уравнений являются методы решения и исследования дифференциальных уравнений и их систем.

Вначале дифференциальные уравнения возникли при рассмотрении отдельных конкретных задач в работах Декарта, Галилея, Барроу (учитель Ньютона), Ферма, Кеплера в XVII веке. В то время понятие производной еще не было введено, как и сам термин «дифференциальное уравнение». История дифференциальных уравнений как самостоятельного раздела математики началась с работ Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница, основателей дифференциального и интегрального исчисления. Сам термин «дифференциальное уравнение» введен Лейбницем. Он также ввел некоторые поныне используемые обозначения. Существенный вклад в теорию дифференциальных уравнений внесли братья Якоб и Иоганн Бернулли (ученики Лейбница), потомки Иоганна Бернулли (особенно Даниил), Леонард Эйлер (ученик Иоганна Бернулли), Лагранж, Лиувилль, Коши и другие известные математики.

К составлению и решению дифференциальных уравнений приводят многочисленные задачи как самой математики, так и других наук – физики, химии, техники, биологии, экономики. Математические модели многих реальных динамических объектов и систем управления представляют собой дифференциальные уравнения или их системы, поэтому теория дифференциальных уравнений является основой математического моделирования и теории автоматического управления.

Только простейшие дифференциальные уравнения допускают аналитическое решение. Для большинства дифференциальных уравнений, связанных с практическими задачами, необходимо использовать численные методы решения. Однако основным фундаментом численных методов решения дифференциальных уравнений остается классическая теория дифференциальных уравнений.

 
Яндекс.Метрика
Наверх