1.3.1. Сравнение бесконечно малых

Рассмотрим функции a(х) и b(х), для которых

То есть бесконечно малые в окрестности х0.

1. Если

То a(х) и b(х )называются бесконечно малыми одного порядка. В частности, если А=1, говорят, что a(х) и b(х) – эквивалентные бесконечно малые.

2. Если

То a(х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с b(х).

3. Если

То a(х) есть бесконечно малая порядка n по сравнению с b(х).

Обозначения: a(х)=О(β(х)) – бесконечно малые одного порядка, a(х)~b(х) – эквивалентные бесконечно малые, a(х)=о(b(х)) – a есть бесконечно малая более высокого порядка, чем b.

Замечание 1.

Используя 1-й и 2-й замечательные пределы и их следствия, можно указать бесконечно малые функции при , эквивалентные х:

Sinx, tgx, arcsinx, arctgx, ln(1+x), ex-1.

Замечание 2.

При раскрытии неопределенности вида , то есть предела отношения двух бесконечно малых, можно каждую из них заменять на эквивалентную – эта операция не влияет на существование и величину предела.

Пример.

< Предыдущая		Следующая >