1.1.5. Свойства пределов

1. Если существует

(А – конечное число), то функция У = F(X) является ограниченной в некоторой окрестности (возможно, проколотой) точки Х0.

Доказательство.

Так как для любого E существует такое D, что |F(X) - A| < E при |X - X0| < D, то при этом |F(X)| < |A| + E, то есть функция ограничена в рассматриваемой окрестности.

2. Функция не может иметь двух различных пределов при Х, стремящемуся к одному и тому же значению.

Доказательство.

Пусть А и В – пределы F(X) при Х→х0. Выберем E < |A-B|. Тогда существует такое D1, что |F(X)-A|<E/2 при |X - X0| < D1, и такое D2, что |F(X)-B|<E/2 при |X - X0| < D2. Если выбрать в качестве D меньшее из чисел D1 и D2, то значения функции F(X) для аргументов, лежащих в D – окрестности Х0, должны одновременно находиться в двух непересекающихся окрестностях, что невозможно. Утверждение доказано.

3. Если

То существует окрестность точки Х0, в которой функция F(X) сохраняет постоянный знак ( F(X)>0, если A > 0, и F(X)<0, если A < 0).

Доказательство.

Достаточно выбрать E=|A|/2. Тогда для Х из некоторой окрестности Х0 |F(X)-A| < |A|/2, то есть А/2 <F(X) <3A/2 при A > 0 и 3A/2 < F(X) < A/2 при A < 0. Следовательно, в выбранной окрестности F(X) сохраняет постоянный знак.

< Предыдущая		Следующая >