2.8. Частные производные высших порядков

Если функция имеет непрерывные частные производные

, ,

То они снова являются функциями переменных и , и если эти функции дифференцируемы в точке , то от каждой из них можно снова находить частные производные по и . В результате получим вторые частные производные, которые обозначаются так:

;

Производные и называются Смешанными – они получаются последовательным дифференцированием функции сначала по , затем по или наоборот.

Производные второго порядка можно снова дифференцировать, получим частные производные третьего порядка. Из будет уже восемь:

; ; ; ; ; ; ; .

Вообще, частное производной -ого порядка называется частная производная от какой-либо частной производной -ого порядка.

Например, есть производная -ого порядка.

Здесь дифференцируется сначала Раз по , потом - по . Для функций большего числа переменных частные производные высшиш порядков определяются аналогично.

Пример 12. .

Решение.

, , ,

, , .

Замечаем, что результат дифференцирования в подчеркнутых производных не зависит от порядка, в котором происходит это дифференцирование. И это не случайно, о чем говорит следующая теорема.

Теорема. Если функция и ее частные производные , , и определены и непрерывны в точке и в некоторой ее окрестности, то в этой точке вторые смешанные производные равны между собой, т. е.

(10)

Следствие. При непрерывности соответствующих частных производные результат повторного дифференцирования функции двух независимых переменных не зависит от порядка дифференцирования.

Например, .