04.3. Правило Лопиталя

Теорема 4 (Лопиталя) Пусть функции и удовлетворяют следующим условиям:

1) определены и дифференцируемы на интервале , за исключением, быть может, точки , причем и ;

2) (либо ( или ));

3) существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных .

Тогда существует также предел отношения функций , причем

.

Смысл правила Лопиталя заключается в том, что оно позволяет свести вычисление предела отношения функций в случае неопределенности вида или к пределу отношения производных, который очень часто вычисляется проще. Правило Лопиталя справедливо также и в случае .

Если производные и удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции и , и существует, применив дважды правило Лопиталя, найдем

.

Правило Лопиталя можно применять до тех пор, пока не будет получена дробь, для которой условия, предусмотренные теоремой, уже не выполняются.

Правило Лопиталя применяется к вычислению пределов в случаях неопределенностей вида или , а также для раскрытия неопределенностей вида , .

Неопределенности вида , , сводятся к неопределенностям или . Для этого необходимо представить выражение , стоящее под знаком предела как .

Вопросы для самоконтроля

1 Сформулируйте теорему Ролля. В чем состоит геометрический и физический смысл теоремы Ролля.

2 Сформулируйте теорему Лагранжа. Почему формула Лагранжа называется формулой конечных приращений?

3 В чем состоит геометрический и физический смысл теоремы Лагранжа?

4 Сформулируйте теорему Коши.

5 При раскрытии каких неопределенностей используется правило Лопиталя?

6 Справедливо ли правило Лопиталя в случае ?

7 Можно ли применять правило Лопиталя несколько раз?

< Предыдущая		Следующая >