3. Основные свойства пределов

1. Последовательность называется постоянной, если все её члены равны постоянному числу , т. е. , при всех . Предел постоянной последовательности равен постоянному числу , т. е. если , то .

2. Если , то , где – бесконечно малая последовательность.

3. Если последовательность имеет предел, то она ограничена, т. е. если , то , где – некоторое положительное число.

4. Если последовательность имеет предел, то он один.

5. Предел суммы двух последовательностей равен сумму их пределов, если предел каждого слагаемого существует, т. е.

Если пределы справа существуют.

Следствие. Предел суммы конечного числа последовательностей, имеющих предел, равен сумме их пределов.

6. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов, т. е.

Если пределы справа существуют.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.

Следствие 2. Предел произведения конечного числа сходящихся последовательностей равен произведению пределов сомножителей.

Следствие 3. Предел степени последовательности, имеющей предел, равен степени предела последовательности, т. е.

Если существует и – конечное число.

Следствие 4. Предел корня из сходящейся последовательности равен корню той же степени из предела последовательности, т. е.

Если предел справа существует (предполагается также, что корни слева и справа существуют, т. е. если корни являются корнями четной степени, то подкоренные выражения неотрицательны).

7. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов, если предел делителя не равен нулю, т. е.

Если пределы справа существуют и .

В тех случаях, когда пределы отдельных последовательностей, над которыми производятся действия, не существуют, то это еще не означает, что не существует общий предел (предел результата действий). Последний может существовать, только он не может быть найден с помощью указанных свойств пределов; его следует находить в каждом отдельном случае особыми приемами.

То же самое можно сказать и о пределе частного, когда пределы делимого и делителя равны нулю.

Рассмотрим примеры на нахождение пределов последовательностей.

Пример 7. Дана последовательность . Доказать, что .

Доказательство. Пусть задано . Найдём разность

По определению предела должно выполняться неравенство

Откуда

Следовательно, , если . Поэтому .

Находить пределы последовательностей, пользуясь непосредственно определением предела, нецелесообразно. Рассмотренный предел можно найти, применяя свойства пределов:

Обычно все промежуточные выкладки опускают, и решение выглядит так:

Пример 8. Найти предел .

Решение. Рассмотрим отдельно три случая:

а) Пусть ; тогда

б) Пусть ; тогда

в) Пусть ; тогда

Ответ:

Пример 9. Найти предел .

Решение. Вынося старшие степени числителя и знаменателя за скобки, имеем:

Пример 10. Найти предел .

Решение. Применить непосредственно свойства пределов здесь нельзя. Чтобы найти данный предел, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное ему, тогда

(второй предел равен нулю).

Следовательно, числитель есть общий член бесконечно малой последовательности. Так как знаменатель – общий член бесконечно большой последовательности, то последовательность бесконечно мала, а ее предел равен нулю.

Ответ: .

Пример 11. Найти предел .

Решение. Частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую есть бесконечно малая последовательность (свойство 6 бесконечно малых последовательностей). Поэтому предел равен нулю.

Ответ: .

Иногда при нахождении пределов формальные преобразования не достигают цели и нужно рассмотрение по существу. Например, при изучении выражений, содержащих , при , надо иметь в виду, что при значение при , а при значение неограниченно растет.