3.5.1. Численные методы решения систем ЛАУ. Прямые методы решения систем ЛАУ

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) в стандартной форме:

,

Где - матрица , , , .

Если - то решение системы существует и единственно.

Формальное решение системы можно записать по известным формулам Крамера

,

Где определители вычисляются по известному правилу.

Однако с вычислительной точки зрения формальное решение не эффективно (хотя и устойчиво) – требует слишком много операций на вычисление определителей (для каждого определителя слагаемых). Это совершенно неприемлемо даже для современных компьютеров уже при . Поэтому используются другие методы численного решения. Эти методы делятся на две большие группы: 1)– прямые методы и 2) – итерационные методы.

Прямые методы основаны на последовательном исключении неизвестных и приведении матрицы A к треугольному виду (метод Гаусса и его модификации, основанные на определенном Правиле выбора главного элемента). Эти методы дают решение СЛАУ за конечное число арифметических операций – это их основное преимущество. Число операций, затрачиваемых на приведение системы к треугольному виду и последующее решение пропорционально . Основной недостаток прямых методов – возможно сильное накопление ошибок округлений при делении на малые числа. Кроме того, возможно возникновение так называемой неустранимой погрешности, если система (и соответственно матрица ) Плохо обусловлена. Это свойство систем обсуждается далее в п. п.3.4.2.

Итерационные методы более эффективны в вычислении и применяются для разреженных (слабо заполненных) систем порядка и более.

Метод Гаусса обычно изучается в курсе линейной алгебры, и мы его рассматривать не будем. Более подробно рассмотрим итерационные методы. Для тех или иных оценок решения понадобится понятие нормы вектора и нормы матрицы, которые мы и обсудим в следующем параграфе.

< Предыдущая		Следующая >