2.3. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

При построении базовых квадратурных формул использовалось число узлов от одного до трех, распределенных равномерно на отрезке .

Для повышения точности квадратурных формул введем на более густую равномерную сетку с мелким шагом H:

И вычислим подынтегральную функцию в полученных узлах

Используя полученное разбиение отрезка, запишем интеграл

Дальнейший результат будет зависеть от порядка базовой квадратурной формулы, используемой на I-ом интервале. Например, для приближения порядка (формула трапеций) получим:

(13)

Формулу (13) можно назвать «Обобщенной формулой трапеций».

Определение. Квадратурная формула N-го порядка, построенная на равномерной сетке с (N+1) узлом, носит название «Формула Ньютона-Котеса порядка n с (N+1) Узлом».

Т. о. формула (13) есть формула Ньютона-Котеса порядка N=1 c (N+1) узлом. Выведем формулу для погрешности данной квадратурной формулы.

Теорема 2.1. Пусть и - равномерная сетка узлов с шагом , и , где определяется формулой (11). Тогда для погрешности обобщенной формулы трапеций справедлива формула:

(14)

Обозначим погрешность базовой формулы трапеций на J-М интервале

, где , .

Просуммируем все J-ые погрешности по N интервалам:

Т. к. по условию , то непрерывна на . Отсюда следует, что функция так же непрерывна на , причем из условия следует, что .

Далее по теореме о промежуточном значении непрерывной на отрезке функции получаем, что найдется такая точка , что .

Отсюда для погрешности формулы Ньютона-Котеса порядка 1 получаем:

(2)

В таком виде формула (14) демонстрирует степень зависимости погрешности от числа интервалов N.

Пусть . Построим формулу Ньютона-Котеса второго порядка, обобщающую квадратурную формулу Симпсона. Для этого необходимо на распределить нечетное число узлов: