1.8.2. Среднеквадратичное приближение функций алгебраическими многочленами

Рассмотрим систему алгебраических многочленов

.

(34)

Такая система, рассматриваемая в гильбертовом пространстве , линейно независима при .

Однако непосредственная подстановка алгебраических многочленов в систему (30) не эффективна, т. к. приводит к плохо обусловленной системе уравнений. На базе системы (34) можно построить ортогональные полиномы на заданном отрезке (или бесконечном промежутке) с заданной весовой функцией .

Рассмотрим один из алгоритмов ортогонализации, известный как Рекуррентная процедура Грама-Шмидта.

Новая система полиномов, ортогональная на с весом строится рекуррентно:

.

Накладывая условие ортогональности:

,

получаем формулу для коэффициентов :

(35)

Пример 16. Пусть отрезок . Построить первые три ортогональных полинома , используя процедуру Грама-Шмидта.

Полагаем . Далее по формулам (35) находим

Откуда получаем

Действуя аналогично далее, получаем: .

Существует другой - более эффективный способ построения ортогональных многочленов. В частности, для системы ортогональных многочленов на отрезке с весом , справедливы следующие две формулы:

Формула Родрига:

(36)

И

Рекуррентная формула:

(37)

Из (36) последовательно получаем: ; Далее по рекуррентной формуле (37) при находим: .

Получаемые таким образом полиномы называются Полиномами Лежандра.

Замечание. Найденные по процедуре (36)-(37) ортогональные многочлены могут лишь множителями отличаться от тех, которые строятся по методу Грама-Шмидта.

Квадрат нормы полиномов Лежандра равен

< Предыдущая		Следующая >