1.6. Интерполяционный полином Ньютона

Пусть - сетка равноотстоящих узлов. Известны табличные значения некоторой функции .

Запишем многочлен Лагранжа в следующем виде:

.

(16)

Введем безразмерную переменную

,

Где H – шаг. Очевидно, что для данной сетки .

Потребуем выполнения условий совпадения значений полинома с табличными значениями в узловых точках

Далее по индукции получаем общую формулу для коэффициента

Заметим, что из определения Q следует, что

.

(17)

Подставляя (17) и формулу для в (16), получаем:

(18)

Формула (18) называется Первой интерполяционной формулой Ньютона или Формулой «интерполирования вперед».

Замечание. Мы получили два различных представления для одного и того же интерполяционного полинома (интерполяционный полином Лагранжа и интерполяционный полином Ньютона). Отметим некоторые очевидные особенности практического применения этих двух видов.

Интерполяционный полином в форме Лагранжа содержит значения В явном виде. Это удобно, когда надо построить интерполяционный полином по той же сетке, но для другой функции . В этом случае достаточно значения поменять на .

Интерполяционный полином в форме Ньютона (4) содержит значения неявно (через конечные разности). Однако он удобен, когда для той же функции необходимо увеличить число узлов N для повышения точности. В этом случае к исходной записи многочлена достаточно добавить несколько таких же членов, если в запасе остались неиспользованными узлы сетки.

Кроме того, на практике обычно формулу (18) используют для интерполяции в точках X, близких к точке X0. В этом случае Q мало и требуется небольшое число членов ряда для достижения нужной точности.

В то же время многочлен в форме Лагранжа дает, как правило, наибольшую максимальную абсолютную погрешность в точках, близких к краям отрезка .

Приведем простейшие частые случаи интерполяции по Ньютону:

1) Линейная интерполяция, :

.

2) Квадратичная интерполяция, :

.

Пример 11. Задана таблица интерполяции в равноотстоящих узлах.

Используя интерполяцию по Ньютону, вычислить приближенно значение .

Составляем конечные разности и дополняем таблицу столбцами конечных разностей и . Обнаруживаем, что вторые конечные разности постоянны. Следовательно, и достаточно ограничиться многочленом 2-го порядка:

.

Используя первую строку таблицы и значение , получаем

.

Погрешность интерполяционной формулы Ньютона.

Нам известна теоретическая оценка погрешности интерполяции в точке по Лагранжу

(5)

.

Преобразуем многочлен для случая равноотстоящих узлов:

Поскольку , то

.

Т. о. для оценки погрешности в точке получаем:

Или

,

(19)

Где

.

Из формулы (19) следует оценка для максимальной абсолютной погрешности интерполяционной формулы Ньютона на всем отрезке

.

(20)

Пример 12. Показать, что из формулы (20) следует более простая, но завышенная оценка

,

(21)

Подчеркивающая степенную зависимость точности интерполяции от шага H.

Для вывода (21) показать сначала, что

.

Доказательство провести по индукции: и т. д.

Пример 13. Каков должен быть шаг H таблицы интерполяции для функции , чтобы при квадратичной интерполяции на отрезке погрешность не превосходила ?

Ответ: . Использовать оценку (21).

Пример 14. Вывести Вторую интерполяционную формулу Ньютона (формулу «интерполирования назад»).

Ищем интерполяционный многочлен в виде:

.

(22)

Накладывая условия

;

Аналогично выводу формулы (18), получим общее выражение для :

Вводя безразмерную переменную

И преобразуя (22), получаем выражение для Второй формулы Ньютона:

.

(23)

Для погрешности интерполяции получаем соответственно:

В формуле (23) используются конечные разности которые образуются в последних строках таблицы.

Замечание. Множество различных видов интерполяционных полиномов не исчерпывается приведенными тремя видами. Результат зависит от двух факторов: от вида сетки (равномерная или неравномерная) и от выбора базового узла . Например для равномерной сетки и при выборе базового узла в центральной части отрезка используются так называемые центральные разности. В результате получаются еще 3 вида записи интерполяционных полиномов: формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя [1].

< Предыдущая		Следующая >